Calcule a convolução f * g\) para \(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dadas por \(f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)= \begin{cases}1, & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário, }\end{cases}
g(x)=e^{-x} u_{0}(x)=\left\{\begin{array}{cc} e^{-x}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário, } \end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução f*g\) das funções \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \[f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)=\begin{cases}1,&\text{se }-1<x<1,\\\ 0,&\text{caso contrário,}\end{cases}
g(x)=e^{-x}u_{0}(x)=\begin{cases}e^{-x},&\text{se }x>0,\\\ 0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
O que se pede explicitamente é a função (f*g)(x)\] definida para todo \(x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição e interpretação da convolução (aula mastigada).
A convolução de duas funções integráveis f e g é dada por
(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\,g(x-y)\,dy.
Aqui a variável de integração y percorre toda a reta, e para cada x somamos (integramos) as contribuições de f(y) multiplicadas por g(x-y). Importante para simplificar a integral é notar os suportes (onde as funções são não nulas):
  • f(y)\neq0 apenas quando y\in(-1,1) (ou seja, seu suporte é o intervalo [-1,1], pontos de fronteira não mudam a integral).
  • g(x-y)\neq0 apenas quando x-y>0, isto é, quando y<x.
    Portanto a integral efetivamente ocorre sobre a interseção desses conjuntos de y.

Passo 3

Determinar o intervalo de integração usando os suportes.
As condições para a integranda ser não nula são
y\in[-1,1]\quad\text{e}\quad y<x.
Logo o domínio efetivo de integração é
y\in[-1,1]\cap(-\infty,x)=\{y\mid -1\le y\le\min(1,x)\}.
Se \min(1,x)\le -1 não há intervalo com medida positiva e a convolução vale zero. Portanto devemos tratar casos segundo o valor de x:
  • Se x\le -1 então a interseção é vazia e (f*g)(x)=0.
  • Se -1<x<1 então a interseção é o intervalo [-1,x].
  • Se x\ge 1 então a interseção é [-1,1].

Passo 4

Escrever a integral reduzida e simplificá-la.
Usando a redução do suporte, para qualquer x temos
(f*g)(x)=\int_{-1}^{\min(1,x)} f(y)\,g(x-y)\,dy.
Mas f(y)=1 nesse intervalo, e g(x-y)=e^{-(x-y)} quando x-y>0. Assim
(f*g)(x)=\int_{-1}^{\min(1,x)} e^{-(x-y)}\,dy.
Fatorando e^{-x} (que é constante em y):
(f*g)(x)=e^{-x}\int_{-1}^{\min(1,x)} e^{y}\,dy.

Passo 5

Calcular a integral e obter expressão em termos de \min(1,x).
A primitiva de e^{y} é e^{y}. Então
\int_{-1}^{\min(1,x)} e^{y}\,dy = e^{\min(1,x)}-e^{-1}.
Portanto
(f*g)(x)=e^{-x}\bigl(e^{\min(1,x)}-e^{-1}\bigr).
Agora substituímos \min(1,x) por casos explícitos:
  • Se x\le -1 então \min(1,x)=x\le -1, mas a interseção é vazia e já determinamos (f*g)(x)=0.
  • Se -1<x<1 então \min(1,x)=x e
(f*g)(x)=e^{-x}\bigl(e^{x}-e^{-1}\bigr)=1-e^{-x-1}.
  • Se x\ge 1 então \min(1,x)=1 e
(f*g)(x)=e^{-x}\bigl(e^{1}-e^{-1}\bigr)=e^{1-x}-e^{-x-1}.

Passo 6

Verificação rápida nas fronteiras (tranquilizando o cérebro).
  • Em x=-1 as duas expressões coincidem em 0.
  • Em x=1 as duas expressões coincidem em 1-e^{-2}.
    Portanto a função convolução fica contínua (pontos de igualdade inclusos funcionam).

Resposta

(f*g)(x)=\begin{cases} 0,&\text{se }x\le -1,\\[4pt] 1-e^{-x-1},&\text{se }-1<x<1,\\[4pt] e^{1-x}-e^{-x-1},&\text{se }x\ge 1. \end{cases}]

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