Calcule a convolução f * g\) para \(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dadas por
\(f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)= \begin{cases}1, & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário, }\end{cases}
g(x)=e^{-x} u_{0}(x)=\left\{\begin{array}{cc} e^{-x}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário, } \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução f*g\) das funções \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por
\[f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)=\begin{cases}1,&\text{se }-1<x<1,\\\ 0,&\text{caso contrário,}\end{cases}
Aqui a variável de integração y percorre toda a reta, e para cada x somamos (integramos) as contribuições de f(y) multiplicadas por g(x-y). Importante para simplificar a integral é notar os suportes (onde as funções são não nulas):
f(y)\neq0 apenas quando y\in(-1,1) (ou seja, seu suporte é o intervalo [-1,1], pontos de fronteira não mudam a integral).
g(x-y)\neq0 apenas quando x-y>0, isto é, quando y<x.
Portanto a integral efetivamente ocorre sobre a interseção desses conjuntos de y.
Passo 3
Determinar o intervalo de integração usando os suportes.
As condições para a integranda ser não nula são