Se f(3)=2=g(3), f^{\prime}(3)=-1 e g^{\prime}(3)=3, concluímos que (f g)^{\prime}(3) vale
Escolha uma opção:
◯ a. 8
◯ b. -4
◯ c. 4
◯ d. -3
◯ e. -8

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados em x=3:
  • f(3)=2
  • g(3)=2 (foi dito que f(3)=2=g(3))
  • f^{\prime}(3)=-1
  • g^{\prime}(3)=3
O que o problema pede:
  • Calcular o valor de (f g)^{\prime}(3), isto é, a derivada da função produto f(x)g(x) avaliada em x=3.

Passo 2

Regra do produto (fórmula que vamos usar) — enunciado e pequena demonstração intuitiva.
A regra do produto diz que, para funções diferenciáveis f e g,
(fg)'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
O que cada termo significa:
  • f'(x) é a derivada de f em x, ou seja, a taxa de variação instantânea (o “declive”) de f naquele ponto.
  • g'(x) é a derivada de g em x.
  • g(x) e f(x) são os valores das funções em x.
    A intuição: quando você varia x um pouco, tanto f quanto g mudam; a variação do produto é a soma das contribuições — a variação de f multiplicada pelo valor atual de g, mais a variação de g multiplicada pelo valor atual de f.
Pequena demonstração via definição de derivada (opcional, mas útil para entender):
\begin{aligned} (fg)'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\\ &=\lim_{h\to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]\\\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \end{aligned}
onde no último passo usamos que g(x+h)\to g(x) quando h\to 0.

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x=3. Substituímos na fórmula:
(fg)'(3)=f'(3)\,g(3)+f(3)\,g'(3).
Agora substituímos os valores dados:
f'(3)\,g(3)=(-1)\cdot 2 = -2,
f(3)\,g'(3)=2\cdot 3 = 6.
Somando as duas contribuições:
-2 + 6 = 4.

Passo 4

Verificação rápida: o resultado \,4 está entre as opções dadas, corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. 4

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