A função integranda é x\cdot\operatorname{cotg}(x)\cdot\operatorname{cossec}(x), isto é x\cot(x)\csc(x).
Os limites de integração são x=\pi/4 (inferior) e x=3\pi/4 (superior).
O que se pede: o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Vamos transformar a integral de forma que fique fácil de integrar. Um truque útil aqui é lembrar a derivada da função \csc(x):
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = -\csc x\cot x.
Reescrevendo, isso diz que
\cot x\,\csc x = -\big(\csc x\big)'.
Isto é muito conveniente porque nossa integranda é x\cot x\csc x: aparece um fator x multiplicando algo que é a derivada (com sinal) de \csc x. Por isso escolhemos aplicar integração por partes com
u = x,\qquad dv = \cot x\,\csc x\,dx.
(Explicando a ideia: integração por partes serve para integrar produto u\,dv. Aqui u=x fica simples ao derivar e dv é facilmente integrável porque é \cot x\csc x.)
Passo 3
Lembrando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
temos du = dx e precisamos de v=\int dv. Como \int \cot x\,\csc x\,dx = -\csc x (pois (\csc x)' = -\csc x\cot x), obtemos v = -\csc x. Aplicando: