Integração por partes
Calcule a integral \int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} x \operatorname{cotg}(x) \operatorname{cossec}(x) d x
\frac{1}{4}(-2+\sqrt{2}) \pi+\ln (\operatorname{cotg}(\pi / 8))
-\frac{\pi}{\sqrt{2}}+2 \ln (\operatorname{cotg}(\pi / 8))
◯ 0
-1 / 2
\frac{\pi}{\sqrt{2}}-2 \ln (\operatorname{cotg}(\pi / 8))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} x\,\operatorname{cotg}(x)\,\operatorname{cossec}(x)\,dx.
Informações dadas (explicitando os símbolos):
  • A função integranda é x\cdot\operatorname{cotg}(x)\cdot\operatorname{cossec}(x), isto é x\cot(x)\csc(x).
  • Os limites de integração são x=\pi/4 (inferior) e x=3\pi/4 (superior).
  • O que se pede: o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Vamos transformar a integral de forma que fique fácil de integrar. Um truque útil aqui é lembrar a derivada da função \csc(x):
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = -\csc x\cot x.
Reescrevendo, isso diz que
\cot x\,\csc x = -\big(\csc x\big)'.
Isto é muito conveniente porque nossa integranda é x\cot x\csc x: aparece um fator x multiplicando algo que é a derivada (com sinal) de \csc x. Por isso escolhemos aplicar integração por partes com
u = x,\qquad dv = \cot x\,\csc x\,dx.
(Explicando a ideia: integração por partes serve para integrar produto u\,dv. Aqui u=x fica simples ao derivar e dv é facilmente integrável porque é \cot x\csc x.)

Passo 3

Lembrando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
temos du = dx e precisamos de v=\int dv. Como \int \cot x\,\csc x\,dx = -\csc x (pois (\csc x)' = -\csc x\cot x), obtemos v = -\csc x. Aplicando:
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} x\cot x\csc x\,dx = \big[-x\csc x\big]_{\pi/4}^{3\pi/4} + \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \csc x\,dx.
Ou seja, a integral transformou-se em uma combinação de um termo de contorno e uma integral mais simples \int \csc x\,dx.

Passo 4

Calculemos o termo de contorno \big[-x\csc x\big]_{\pi/4}^{3\pi/4}. Primeiro as razões seno/cosecante nos limites:
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2},
portanto
\csc\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\csc\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=\frac{1}{\sin(\cdot)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
Agora o termo de contorno:
\big[-x\csc x\big]_{\pi/4}^{3\pi/4} = -\frac{3\pi}{4}\csc\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big) -\Big(-\frac{\pi}{4}\csc\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)\Big) = \frac{\pi}{4}\sqrt{2}-\frac{3\pi}{4}\sqrt{2} = -\frac{\pi}{2}\sqrt{2}.
Simplificando -\dfrac{\pi}{2}\sqrt{2} = -\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}. Logo o termo de contorno vale -\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora falta calcular \displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\csc x\,dx. Uma primitiva conhecida (e fácil de verificar derivando) é
\frac{d}{dx}\big(\ln|\tan(x/2)|\big)=\csc x,
portanto
\int \csc x\,dx = \ln\big|\tan(x/2)\big| + C.
(Se quiser confirmar rapidamente: derivando \ln(\tan(x/2)) obtém-se \csc x, por conta da identidade de ângulo metade.)

Passo 6

Avalie a primitiva nos limites:
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\csc x\,dx = \big[\ln|\tan(x/2)|\big]_{\pi/4}^{3\pi/4} = \ln\!\big(\tan(3\pi/8)\big)-\ln\!\big(\tan(\pi/8)\big).
Note a identidade \tan\!\big(\tfrac{3\pi}{8}\big)=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{8}\big)=\cot\!\big(\tfrac{\pi}{8}\big). Assim
\ln\!\big(\tan(3\pi/8)\big)-\ln\!\big(\tan(\pi/8)\big) = \ln\!\big(\cot(\pi/8)\big)-\ln\!\big(\tan(\pi/8)\big) = \ln\!\Big(\frac{\cot(\pi/8)}{\tan(\pi/8)}\Big).
Mas \dfrac{\cot(\theta)}{\tan(\theta)}=\dfrac{1/\tan\theta}{\tan\theta}=\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\cot^2\theta. Portanto
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\csc x\,dx = \ln\!\big(\cot^2(\pi/8)\big) = 2\ln\!\big(\cot(\pi/8)\big).

Passo 7

Somando o termo de contorno com a integral de \csc x obtemos o valor final:
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} x\cot x\csc x\,dx = -\frac{\pi}{\sqrt{2}} + 2\ln\!\big(\cot(\tfrac{\pi}{8})\big).

Resposta

-\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}+2\ln\!\big(\cot(\tfrac{\pi}{8})\big)

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