Avalie a integral.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A função integranda é
, ou seja, um produto de potências de seno e cosseno. - Não há mais condições; a integral está bem definida no intervalo dado, embora
mude de sinal dentro do intervalo.
Passo 2
Escolha do método: como temos potências de seno e cosseno, um truque padrão e eficiente é separar uma cópia de
para formar
, porque
. Então vou escrever
e usar a identidade trigonométrica
para obter uma expressão em termos de
vezes
. Em seguida faço a substituição
. Essa escolha é conveniente porque transforma a integral trigonométrica numa integral de polinômio em
.
Passo 3
Aplicando a ideia descrita: escrevo a integranda como
Agora a integral fica
Explicação rápida da identidade usada:
(identidade pitagórica), então
.
Passo 4
Faço a substituição
. Vou explicar o que isso implica:
- Diferencial:
. Isso é bom porque já temos um fator na integral. - Limites de integração em
: quando , , então . Quando , , então .
Substituindo na integral obtemos
Posso também expandir o integrando:
Passo 5
Agora integro o polinômio em
. A primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Assim uma primitiva da função
é
Portanto a integral definida é
Passo 6
Avalio a primitiva nos limites. Primeiro calculo em
. Note que
. Então
Substituindo:
Agora em
:
Então a integral vale
Passo 7
Faço a simplificação final para uma expressão mais limpa. Coloco tudo sobre um mesmo denominador ou racionalizo:
Multiplicando numerador e denominador por
para eliminar a raiz do denominador:
Observação qualitativa: o resultado é negativo porque em boa parte do intervalo
é negativo (logo
é negativo) e
é positivo; o valor numérico final confirma isso.