Avalie a integral.
\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 4} \operatorname{sen}^{2}(x) \cos ^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{\pi/2}^{3\pi/4} \operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são x=\pi/2 (limite inferior) e x=3\pi/4 (limite superior).
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x), ou seja, um produto de potências de seno e cosseno.
  • Não há mais condições; a integral está bem definida no intervalo dado, embora \cos(x) mude de sinal dentro do intervalo.

Passo 2

Escolha do método: como temos potências de seno e cosseno, um truque padrão e eficiente é separar uma cópia de \cos(x) para formar d(\operatorname{sen} x), porque \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\cos x. Então vou escrever \cos^{3}(x)=\cos^{2}(x)\cos(x) e usar a identidade trigonométrica \cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x) para obter uma expressão em termos de \operatorname{sen}(x) vezes \cos(x)\,dx. Em seguida faço a substituição u=\operatorname{sen} x. Essa escolha é conveniente porque transforma a integral trigonométrica numa integral de polinômio em u.

Passo 3

Aplicando a ideia descrita: escrevo a integranda como
\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\bigl(\cos^{2}(x)\bigr)\cos(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)\cos(x).
Agora a integral fica
\int_{\pi/2}^{3\pi/4}\operatorname{sen}^{2}(x)\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)\cos(x)\,dx.
Explicação rápida da identidade usada: \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1 (identidade pitagórica), então \cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x).

Passo 4

Faço a substituição u=\operatorname{sen}(x). Vou explicar o que isso implica:
  • Diferencial: du=\cos(x)\,dx. Isso é bom porque já temos um fator \cos(x)\,dx na integral.
  • Limites de integração em u: quando x=\pi/2, \operatorname{sen}(\pi/2)=1, então u_{\text{inferior}}=1. Quando x=3\pi/4, \operatorname{sen}(3\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então u_{\text{superior}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    Substituindo na integral obtemos
\int_{u=1}^{u=\sqrt{2}/2} u^{2}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.
Posso também expandir o integrando:
u^{2}(1-u^{2})=u^{2}-u^{4}.

Passo 5

Agora integro o polinômio em u. A primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3} e a primitiva de u^{4} é \dfrac{u^{5}}{5}. Assim uma primitiva da função u^{2}-u^{4} é
F(u)=\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}.
Portanto a integral definida é
\left[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{u=1}^{u=\sqrt{2}/2}.

Passo 6

Avalio a primitiva nos limites. Primeiro calculo em u=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Note que \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}. Então
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=2^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{2}},\qquad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{5}=2^{-5/2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}.
Substituindo:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}} =\frac{1}{6\sqrt{2}}-\frac{1}{20\sqrt{2}} =\frac{7}{60\sqrt{2}}.
Agora em u=1:
\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{5}}{5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}.
Então a integral vale
\frac{7}{60\sqrt{2}}-\frac{2}{15}.

Passo 7

Faço a simplificação final para uma expressão mais limpa. Coloco tudo sobre um mesmo denominador ou racionalizo:
\frac{7}{60\sqrt{2}}-\frac{2}{15}=\frac{7}{60\sqrt{2}}-\frac{8}{60} =\frac{7-8\sqrt{2}}{60\sqrt{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} para eliminar a raiz do denominador:
\frac{7-8\sqrt{2}}{60\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{7\sqrt{2}-16}{120}.
Observação qualitativa: o resultado é negativo porque em boa parte do intervalo \cos(x) é negativo (logo \cos^{3}(x) é negativo) e \operatorname{sen}^{2}(x) é positivo; o valor numérico final confirma isso.

Resposta

\dfrac{7\sqrt{2}-16}{120}

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