Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes relações:
\{(2,1),(1,-3),(5, \sqrt{2})\}

Passo 1

O enunciado dá a relação finita
\{(2,1),(1,-3),(5,\sqrt{2})\}
e pede duas coisas: o domínio e a imagem dessa relação.
Dados relevantes que extraí do enunciado:
(2,1),\quad (1,-3),\quad (5,\sqrt{2}).

Passo 2

Primeiro vamos fixar o que significam “domínio” e “imagem” para uma relação (explicação passo a passo e útil para a prova).
  • A relação é um conjunto de pares ordenados (x,y).
  • O domínio é o conjunto de todas as primeiras componentes (os valores de x) que aparecem nos pares. Em notação:
\text{domínio}=\{x \mid \exists y\\ \text{tal que}\\ (x,y)\\ \text{pertence à relação}\}.íàçã
  • A imagem (também chamada de contradomínio efetivo ou conjunto imagem neste contexto) é o conjunto de todas as segundas componentes (os valores de y) que aparecem nos pares. Em notação:
\text{imagem}=\{y \mid \exists x\\ \text{tal que}\\ (x,y)\\ \text{pertence à relação}\}.àçã
Isso é tudo o que precisamos para resolver a questão: pegar as primeiras componentes para formar o domínio e as segundas para formar a imagem.

Passo 3

Vamos listar explicitamente as primeiras componentes (primeiros elementos) de cada par dado:
Do par (2,1) pego 2.
Do par (1,-3) pego 1.
Do par (5,\sqrt{2}) pego 5.
Então, inicialmente temos os candidatos ao domínio: \{2,1,5\}.

Passo 4

Agora listamos as segundas componentes (segundos elementos) de cada par:
Do par (2,1) pego 1.
Do par (1,-3) pego -3.
Do par (5,\sqrt{2}) pego \sqrt{2}.
Então, inicialmente temos os candidatos à imagem: \{1,-3,\sqrt{2}\}.

Passo 5

Verificamos se há repetições para remover (lembrando que em conjuntos não repetimos elementos):
  • Nas primeiras componentes 2,1,5 não há repetição.
  • Nas segundas componentes 1,-3,\sqrt{2} também não há repetição.
    Portanto os conjuntos finais são exatamente aqueles listados.

Resposta

Domínio: \{1,2,5\}
Imagem: \{-3,1,\sqrt{2}\}

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