Avalie a integral.
integral0^pi / 3 sin (x) ln (cos (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi/3 sin(x)ln(cos(x)),dx. O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição, e precisaremos usar a mudança de variável t=cos(x), aproveitando que d(cos x)=-sin x,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição t=cos(x). Então temos
dt = -sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx = -,dt

Passo 3

Quando x=0, t=cos(0)=1. Quando x=pi/3, t=cos(pi/3)=1/2. A integral original vira
integral0^pi/3 sin(x)ln(cos(x)),dx = integralt=1^t=1/2 ln(t),(-dt) = integral1/2^1 ln(t),dt

Passo 4

Agora usamos a primitiva de ln(t). Sabemos que
ddtl(tln(t)-tr)=1cdotln(t)+tcdot1t-1=ln(t)

Passo 5

Logo
integral ln(t),dt = tln(t)-t + C

Passo 6

Aplicando os limites de 1/2 a 1:
l[tln(t)-tr]1/2^1 =l(1cdotln1 -1r)-l(tfrac12ln(tfrac12)-tfrac12r)

Passo 7

Como ln1=0 e ln(1/2)=-ln2, isso fica
(-1)-l(tfrac12(-ln2)-tfrac12r)= -1+tfrac12ln2+tfrac12=tfrac12(ln2 -1)

Resposta

12l(ln2 -1r).

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