Estude as convergências das sequências (an) :
(1+2 / n)^n

Passo 1

O problema pede para encontrar o limite da sequência an = l(1+tfrac2nr)^n quando n to infty. O conteúdo aqui é limite de sequência do tipo exponencial e vamos usar logaritmo para lidar com essa potência.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, definimos o logaritmo da sequência: bn = ln(an) = n lnl(1+tfrac2nr). Assim, se conseguirmos limntoinfty bn, então limntoinfty an = e^lim bn.

Passo 3

Para achar limntoinfty bn, usamos a expansão de Taylor de ln(1+u) perto de u=0. Aqui u=2/n, então temos:
lnl(1+tfrac2nr) = 2n - 12l(2nr)^2 + ol(1n^2r) = 2n - 2n^2 + ol(1n^2r)
Multiplicando por n:
bn = n lnl(1+tfrac2nr) = 2 - 2n + ol(1nr)
Logo, limntoinfty bn = 2.

Passo 4

Como bn = ln(an) aproxima-se de 2, concluímos que
limntoinfty an = limntoinfty e^bn = e^2

Resposta

A sequência l(1+tfrac2nr)^n converge para e^2.

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