Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo da sequência definida por
O conteúdo envolvido é comportamento de sequência em termos de monotonia e limite, e vamos precisar usar o critério da razão entre termos e o limite quando
.
Passo 2
Calcular a razão entre termos consecutivos para ver onde a sequência cresce ou decresce. Temos
Isso mostra que quando
(ou seja,
ou
) a razão é maior que 1 e a sequência cresce; quando
(ou seja,
) a razão é menor que 1 e a sequência decresce.
Passo 3
Comparar valores iniciais para achar o máximo. Calculamos:
Logo os maiores valores ocorrem em
e
, ambos iguais a 2. Portanto o supremo da sequência é 2.
Passo 4
Para o ínfimo, observamos o limite quando
. Como
cresce muito mais rápido que
, vale
Como todos os termos são positivos, esse limite é o menor valor que a sequência se aproxima sem atingir. Logo o ínfimo é 0.
Resposta
supremo = 2, ínfimo = 0