Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
& an=2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo da sequência definida por
an=2^nn!
O conteúdo envolvido é comportamento de sequência em termos de mono­tonia e limite, e vamos precisar usar o critério da razão entre termos e o limite quando ntoinfty.

Passo 2

Calcular a razão entre termos consecutivos para ver onde a sequência cresce ou decresce. Temos
an+1an=2^n+1/(n+1)!2^n/n!=2n+1
Isso mostra que quando n+1<2 (ou seja, n=0 ou n=1) a razão é maior que 1 e a sequência cresce; quando n+1>2 (ou seja, n>=2) a razão é menor que 1 e a sequência decresce.

Passo 3

Comparar valores iniciais para achar o máximo. Calculamos:
a0=2^00!=1, a1=2^11!=2, a2=2^22!=2, a3=2^33!=86approx1,33
Logo os maiores valores ocorrem em n=1 e n=2, ambos iguais a 2. Portanto o supremo da sequência é 2.

Passo 4

Para o ínfimo, observamos o limite quando ntoinfty. Como n! cresce muito mais rápido que 2^n, vale
limntoinftyan=limntoinfty2^nn!=0
Como todos os termos são positivos, esse limite é o menor valor que a sequência se aproxima sem atingir. Logo o ínfimo é 0.

Resposta

supremo = 2, ínfimo = 0

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