Avalie a integral:
integrale^+infty d xx ln ^3 x
Dica: fazer uma substituição simples e, em seguida, aplicar o limite

Passo 1

A integral que queremos avaliar é uma integral imprópria de função que envolve logaritmo, ou seja, vamos usar integração por substituição e depois avaliar o limite. O conteúdo principal aqui é: integrais impróprias e mudança de variável do tipo u=ln x.

Passo 2

Fazendo a substituição u=ln x, temos du=tfracdxx. Os limites em x vão de e a +infty, então em u vão de 1 a +infty. Com essa mudança, a integral se transforma em
integrale^inftydxx(ln x)^3=integral1^inftyu^-3,du
Aqui usamos que 1/(x(ln x)^3),dx=(u^-3),du.

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de u^-3. Sabemos por potência que
integral u^-3,du=u^-2-2=-12u^2
Então avaliamos de 1 a um limite R que tende a +infty. Aplicando o limite, obtemos
limRtoinftyl(-12R^2r)-l(-12cdot1^2r) =0-l(-tfrac12r)=tfrac12

Resposta

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