Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a primitiva da expressão 31 – ∫(1/(x ln x)) dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos 1/(x ln x). Para resolver, vamos precisar usar a mudança de variável u = ln x.
Passo 2
Vamos separar a parte constante da parte integral. A primitiva de 31 é 31x. Porém, como 31 está fora do sinal de ∫ no enunciado, na prática a primitiva da expressão inteira será 31 (que age como constante) menos a primitiva de ∫1/(x ln x) dx.
Passo 3
Para calcular ∫1/(x ln x) dx, fazemos a substituição u = ln x. Então du = (1/x) dx. Isso transforma a integral em ∫1/u du.
Passo 4
Agora integramos ∫1/u du, que sabemos ser ln|u| + C. Voltando à variável original, u = ln x, obtemos ln|ln x| + C.
Passo 5
Por fim, a primitiva da expressão 31 – ∫1/(x ln x) dx é dada por 31 – ln|ln x| + C, onde C é a constante de integração.
Resposta
31 - \ln\bigl|\ln x\bigr| + C