Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla . Isso aí envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo nas três dimensões, usando as coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral interna é . Integrar em relação a é simples:
Então, avaliando entre e :
Passo 3
Agora, a integral fica integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x^2 + y^22 , dy , dx. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Nesse sistema, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dy , dx vira r , dr , dtheta.
Passo 4
Convertendo os limites para polares: r vai de 0 a 1 (pois x^2 + y^2 <= 1) e theta vai de 0 a 2pi. A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^22 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^32 , dr , dtheta