Avalie integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral0^raizx^2+y^2 z d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral0^raizx^2+y^2 z , dz , dy , dx. Isso aí envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo nas três dimensões, usando as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A integral interna é integral0^raizx^2+y^2 z , dz. Integrar z em relação a z é simples:
integral z , dz = z^22
Então, avaliando entre 0 e raizx^2+y^2:
z^22 |0^raizx^2+y^2 = (raizx^2+y^2)^22 - 0 = x^2 + y^22

Passo 3

Agora, a integral fica integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x^2 + y^22 , dy , dx. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Nesse sistema, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dy , dx vira r , dr , dtheta.

Passo 4

Convertendo os limites para polares: r vai de 0 a 1 (pois x^2 + y^2 <= 1) e theta vai de 0 a 2pi. A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^22 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^32 , dr , dtheta
Integramos primeiro em r:
integral0^1 r^32 , dr = 12 cdot r^44 |0^1 = 18
Agora, integramos em theta:
integral0^2pi 18 , dtheta = 18 cdot 2pi = pi4

Resposta

O valor da integral é pi4.

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