Calcule
, onde
é o cilindro
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é um cilindro definido por
e que vai de
até
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Isso é útil porque o domínio de integração é um cilindro, e nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam mais simples. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume
vira
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
: O raio do cilindro é , então vai de a . - Para
: Como o cilindro é completo, vai de a . - Para
: De acordo com o enunciado, varia de a .
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.