Calcule integral triplaV z d V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 1 entre z=0 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaV z , dV, onde V é um cilindro definido por x^2 + y^2 <= 1 e que vai de z = 0 até z = 2. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Isso é útil porque o domínio de integração é um cilindro, e nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam mais simples. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume dV vira r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para r: O raio do cilindro é 1, então r vai de 0 a 1.
  • Para theta: Como o cilindro é completo, theta vai de 0 a 2pi.
  • Para z: De acordo com o enunciado, z varia de 0 a 2.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV z , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por z:
integral0^2 z cdot r , dz = r cdot [ 12 z^2 ]0^2 = r cdot ( 12 cdot 4 - 0 ) = 2r

Passo 6

Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 2r , dr = 2 cdot [ 12 r^2 ]0^1 = 2 cdot ( 12 - 0 ) = 1

Passo 7

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 1 , dtheta = [ theta ]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Resposta

O valor da integral tripla é 2pi.

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