Use coordenadas cilíndricas para calcular as integrais:
integral triplaS raizx^2+y^2 d V, onde S=(x, y, z): x^2+y^2 <= 9,0 <= z <= 4, x >= 0, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral triplaS raizx^2+y^2,dV, onde S é a parte do cilindro de raio 3 e altura 4 no primeiro quadrante ( x>=0, y>=0). O conteúdo principal é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, usando x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos raizx^2+y^2=r e dV=r,dr,dtheta,dz, então o integrando vira r^2. Os limites são:
theta de 0 a tfracpi2 (só o primeiro quadrante),
r de 0 a 3 (raio do cilindro),
z de 0 a 4 (altura).
Montando a integral em bloco:
integral0^pi2integral0^3integral0^4r^2,dz,dr,dtheta

Passo 3

Agora resolvemos passo a passo. Calculamos primeiro integral0^4dz=4, então a integral fica
4integral0^pi2integral0^3r^2,dr,dtheta

Passo 4

Em r: integral0^3r^2,dr=l[r^3/3r]0^3=9.
Em theta: integral0^pi2dtheta=pi2.

Passo 5

Multiplicando tudo: 4times9timestfracpi2=18pi.

Resposta

18\pi

Exercícios relacionados