Use coordenadas cilíndricas para calcular as integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral
, onde
é a parte do cilindro de raio 3 e altura 4 no primeiro quadrante (
,
). O conteúdo principal é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, usando
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e
, então o integrando vira
. Os limites são:
de 0 a
(só o primeiro quadrante),
de 0 a 3 (raio do cilindro),
de 0 a 4 (altura).
Montando a integral em bloco:
Montando a integral em bloco:
Passo 3
Agora resolvemos passo a passo. Calculamos primeiro
, então a integral fica
Passo 4
Em
:
.
Em :
.
Em
Passo 5
Multiplicando tudo:
.
Resposta
18\pi