Se-1, então lim n infty alpha^n=0.

Passo 1

Essa questão pede para mostrar que uma sequência geométrica com razão alpha satisfazendo -1 converge a zero conforme - ntoinfty O conteúdo aqui é limite de sequência e prova pelo critério (varepsilon.

Passo 2

Lembrando a definição de limite de sequência: dizemos que uma sequência an converge para L se, para todo varepsilon>0, existe um N tal que, para todo n>N, vale converge para |an - L|.

Passo 3

Como |alpha|<1, podemos escolher um número q tal que |alpha|. Assim, para todo n, temos porque |alpha|^n < q^n E sabemos que (limntoinftyq^n=0. Para formalizar o critério, dado um 0, basta escolher varepsilon>0 tal que
N

Passo 4

Isso ocorre sempre que
N > ln(varepsilon)ln(q), pois ln(q)<0. Então, para todo n>N,
|alpha^n -0| = |alpha|^n < q^n < varepsilon

Passo 5

Portanto, pela definição de limite, concluímos que (\lim_{n\to\infty}\alpha^n = 0.

Resposta

0

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