Avalie a integral de superfície ∬_{S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{~d} \mathbf{S} para o campo vetorial dado \mathbf{F} e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de \mathbf{F} através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+y \mathbf{k}, S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=25, y \geq 0, orientado na direção do eixo positivo y.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}
do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=xy\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k} através da superfície S, onde S é o hemisfério
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25,\qquad y\ge 0,
orientado na direção do eixo positivo y. Informações dadas e perguntas claras:
  • Superfície S é o hemisfério de raio 5 (pois 25=5^{2}) com a parte y\ge0.
  • A orientação pedida é tal que a componente normal aponta para a direção positiva de y.
  • Queremos o fluxo escalar do campo através de S: \iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escolha do método: é mais prático usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando o hemisfério com o disco plano em y=0. Motivo: o volume encerrado pelo hemisfério mais o disco é um semibol de raio 5 e o teorema transforma uma integral de superfície em uma integral de volume mais simples. Vou:
  1. Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F}.
  2. Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V (semibol com y\ge0) para obter o fluxo total pela superfície fechada (hemisfério S mais disco D em y=0).
  3. Calcular o fluxo através do disco D.
  4. Subtrair para obter o fluxo apenas pelo hemisfério S, respeitando as orientações. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Calcular a divergência do campo. Lembrando a definição:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}F_x+\frac{\partial}{\partial y}F_y+\frac{\partial}{\partial z}F_z,
onde F_x, F_y, F_z são as componentes de \mathbf{F}. Para \mathbf{F}=xy\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k} temos:
F_x=xy,\qquad F_y=x,\qquad F_z=y.
Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial z}(y)=y+0+0=y.
Portanto \nabla\cdot\mathbf{F}=y.

Passo 4

Aplicar Teorema da Divergência ao volume V (semibol com y\ge0). O teorema diz:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,\mathrm{d}V.
Aqui \partial V é a superfície fechada formada pelo hemisfério S (curvo) mais o disco D no plano y=0. Portanto
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_{V} y\,\mathrm{d}V.
Vou calcular primeiro o lado direito, \iiint_{V} y\,\mathrm{d}V. Para o semibol é natural usar coordenadas esféricas. Definições (com interpretação):
  • x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
  • y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
  • z=\rho\cos\varphi.
    Aqui \rho\ge0 é a distância do ponto à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (de z-em cima para baixo), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (de x até y). O elemento de volume é
\mathrm{d}V=\rho^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
No nosso volume V temos 0\le\rho\le5. A condição y\ge0 corresponde a \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]. O ângulo \varphi percorre todo 0 a \pi. Assim os limites são:
\rho\in[0,5],\quad \varphi\in[0,\pi],\quad \theta\in[0,\pi].
A integranda y em coordenadas esféricas é y=\rho\sin\varphi\sin\theta. Logo
\iiint_{V} y\,\mathrm{d}V=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{5} \big(\rho\sin\varphi\sin\theta\big)\,(\rho^{2}\sin\varphi)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
Simplificando a integranda:
(\rho\sin\varphi\sin\theta)(\rho^{2}\sin\varphi)=\rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta.

Passo 5

Calcular a integral tripla passo a passo. Primeiro separe a integral em fatores que dependem de apenas uma variável:
\iiint_{V} y\,\mathrm{d}V =\int_{0}^{5}\rho^{3}\,\mathrm{d}\rho\;\cdot\;\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi\;\cdot\;\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta.
Calcule cada uma:
  1. Integral radial:
\int_{0}^{5}\rho^{3}\,\mathrm{d}\rho=\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{5}=\frac{5^{4}}{4}=\frac{625}{4}.
  1. Integral em \varphi:
    usar \sin^{2}\varphi=\tfrac{1-\cos(2\varphi)}{2},
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1-\cos(2\varphi)\,\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{2}\Big[\varphi-\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi)\Big]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\big(\pi-0\big)=\frac{\pi}{2}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=\big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-(-1)=2.
Multiplicando tudo:
\iiint_{V} y\,\mathrm{d}V=\frac{625}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 2=\frac{625\pi}{4}.
Portanto o fluxo total pela superfície fechada \partial V é \dfrac{625\pi}{4}.

Passo 6

Agora calcular o fluxo através do disco D (plano y=0, x^{2}+z^{2}\le25). Precisamos da orientação do disco conforme a superfície fechada: para o volume com y\ge0, a normal externa no disco aponta para fora do volume, isto é na direção negativa de y. Portanto, sobre D o vetor normal unitário escolhido é \mathbf{n}=-\mathbf{j}. O elemento de superfície é \mathrm{d}S no plano y=0 (igual ao elemento da área do disco no plano xz). O fluxo pelo disco é
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_{D}\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{j})\,\mathrm{d}S=-\iint_{D}F_{y}\,\mathrm{d}S.
Na superfície y=0 temos F_{y}=x (pois \mathbf{F}=xy\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k} e y=0 zera as outras componentes). Assim o integrando é -x. Logo
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-\iint_{D} x\,\mathrm{d}S.
Mas o disco D é simétrico em x: para cada ponto (x,z) existe (-x,z) no disco, e a função x é ímpar em x. Assim a integral sobre o disco de x é 0. Portanto
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0.

Passo 7

Combinar os resultados do Teorema da Divergência:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =\iiint_{V} y\,\mathrm{d}V.
Como \iiint_{V} y\,\mathrm{d}V=\dfrac{625\pi}{4} e \iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0, obtemos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{625\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{625\pi}{4}

Exercícios relacionados