Avalie a integral de superfície
para o campo vetorial dado
e a superfície orientada
. Em outras palavras, localize o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, S é o hemisfério
, orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
, onde
é o hemisfério
orientado na direção do eixo positivo
. Informações dadas e perguntas claras:
- Superfície
é o hemisfério de raio (pois ) com a parte . - A orientação pedida é tal que a componente normal aponta para a direção positiva de
. - Queremos o fluxo escalar do campo através de
: .
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escolha do método: é mais prático usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando o hemisfério com o disco plano em
. Motivo: o volume encerrado pelo hemisfério mais o disco é um semibol de raio
e o teorema transforma uma integral de superfície em uma integral de volume mais simples. Vou:
- Calcular a divergência
. - Aplicar o Teorema da Divergência ao volume
(semibol com ) para obter o fluxo total pela superfície fechada (hemisfério mais disco em ). - Calcular o fluxo através do disco
. - Subtrair para obter o fluxo apenas pelo hemisfério
, respeitando as orientações. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Calcular a divergência do campo. Lembrando a definição:
onde
são as componentes de
. Para
temos:
Então
Portanto
.
Passo 4
Aplicar Teorema da Divergência ao volume
(semibol com
). O teorema diz:
Aqui
é a superfície fechada formada pelo hemisfério
(curvo) mais o disco
no plano
. Portanto
Vou calcular primeiro o lado direito,
. Para o semibol é natural usar coordenadas esféricas. Definições (com interpretação):
-
, -
, -
.
Aquié a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (de -em cima para baixo), e é o ângulo azimutal no plano (de até ). O elemento de volume é
No nosso volume
temos
. A condição
corresponde a
, ou seja
. O ângulo
percorre todo
a
. Assim os limites são:
A integranda
em coordenadas esféricas é
. Logo
Simplificando a integranda:
Passo 5
Calcular a integral tripla passo a passo. Primeiro separe a integral em fatores que dependem de apenas uma variável:
Calcule cada uma:
- Integral radial:
- Integral em
:
usar,
- Integral em
:
Multiplicando tudo:
Portanto o fluxo total pela superfície fechada
é
.
Passo 6
Agora calcular o fluxo através do disco
(plano
,
). Precisamos da orientação do disco conforme a superfície fechada: para o volume com
, a normal externa no disco aponta para fora do volume, isto é na direção negativa de
. Portanto, sobre
o vetor normal unitário escolhido é
. O elemento de superfície é
no plano
(igual ao elemento da área do disco no plano
). O fluxo pelo disco é
Na superfície
temos
(pois
e
zera as outras componentes). Assim o integrando é
. Logo
Mas o disco
é simétrico em
: para cada ponto
existe
no disco, e a função
é ímpar em
. Assim a integral sobre o disco de
é
. Portanto
Passo 7
Combinar os resultados do Teorema da Divergência:
Como
e
, obtemos