(2,0)
Determine a integral imprópria \int_{1}^{\infty} x^{2} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2}\,dx.
Informações dadas:
O integrando é x^{2}.
O intervalo de integração é de x=1 até x=\infty (limite superior infinito).
Por causa do limite superior infinito, trata‑se de uma integral imprópria — isto é, devemos interpretar a integral como um limite.
Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria com limite infinito: quando temos
desde que esse limite exista e seja finito. Aqui vamos aplicar exatamente essa definição com f(x)=x^{2}. No limite, b é um número finito que representa o extremo superior temporário; depois fazemos b\to\infty.
Passo 3
Precisamos calcular a integral definida \int_{1}^{b} x^{2}\,dx em termos de b. Para isso usamos a primitiva (antiderivada) de x^{n}. Regra geral: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, logo uma antiderivada de x^{2} é
\frac{x^{3}}{3}.
Explicando: a operação de integrar é a inversa de derivar; derivando \frac{x^{3}}{3} obtemos x^{2}, portanto está correta.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida de 1 até b usando a antiderivada:
Agora analisamos o comportamento de \frac{b^{3}}{3} quando b\to\infty. Como b^{3} cresce sem limite quando b cresce (polinômio de grau 3), temos
\lim_{b\to\infty} \frac{b^{3}}{3} = +\infty.
Subtraindo o termo constante \frac{1}{3} não altera a divergência para infinito. Portanto o limite é +\infty.
Passo 6
Conclusão: o limite que define a integral imprópria não é finito; ele diverge para +\infty. Em linguagem prática: a integral imprópria não converge (tem valor infinito). Uma maneira rápida de memorizar: integrais do tipo \int_{1}^{\infty} x^{p}\,dx convergem somente quando p<-1; aqui p=2, por isso diverge — isto é um lembrete útil para provas rápidas.