(2,0)
Determine a integral imprópria \int_{1}^{\infty} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{2}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=\infty (limite superior infinito).
  • Por causa do limite superior infinito, trata‑se de uma integral imprópria — isto é, devemos interpretar a integral como um limite.
    Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que é pedido e os dados do problema.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria com limite infinito: quando temos
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx,
interpretamos isso como o limite
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista e seja finito. Aqui vamos aplicar exatamente essa definição com f(x)=x^{2}. No limite, b é um número finito que representa o extremo superior temporário; depois fazemos b\to\infty.

Passo 3

Precisamos calcular a integral definida \int_{1}^{b} x^{2}\,dx em termos de b. Para isso usamos a primitiva (antiderivada) de x^{n}. Regra geral: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, logo uma antiderivada de x^{2} é
\frac{x^{3}}{3}.
Explicando: a operação de integrar é a inversa de derivar; derivando \frac{x^{3}}{3} obtemos x^{2}, portanto está correta.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de 1 até b usando a antiderivada:
\int_{1}^{b} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{x=1}^{x=b} = \frac{b^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{b^{3}}{3} - \frac{1}{3}.
Cada termo foi obtido substituindo os limites na antiderivada e fazendo a diferença “superior menos inferior”.

Passo 5

Voltamos à definição da integral imprópria como limite quando b\to\infty:
\int_{1}^{\infty} x^{2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left(\frac{b^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right).
Agora analisamos o comportamento de \frac{b^{3}}{3} quando b\to\infty. Como b^{3} cresce sem limite quando b cresce (polinômio de grau 3), temos
\lim_{b\to\infty} \frac{b^{3}}{3} = +\infty.
Subtraindo o termo constante \frac{1}{3} não altera a divergência para infinito. Portanto o limite é +\infty.

Passo 6

Conclusão: o limite que define a integral imprópria não é finito; ele diverge para +\infty. Em linguagem prática: a integral imprópria não converge (tem valor infinito). Uma maneira rápida de memorizar: integrais do tipo \int_{1}^{\infty} x^{p}\,dx convergem somente quando p<-1; aqui p=2, por isso diverge — isto é um lembrete útil para provas rápidas.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{2}\,dx = +\infty

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