Use o Teorema de Gauss para calcular \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{~d} \mathbf{S} :
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+y \mathbf{j}-z x \mathbf{k}, \mathrm{~S} é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde a campo vectorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=z\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}-zx\,\mathbf{k},
e S é a superfície fechada do tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • O tetraedro intercepta os eixos nas posições (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,4) (obtemos isto fazendo y=z=0, x=z=0, x=y=0 respectivamente).
  • A superfície S é uma superfície fechada que envolve o volume V desse tetraedro.
    O que se pede: o valor numérico do fluxo total \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência): para um campo vetorial suave \mathbf{F} definido num volume V com superfície fechada S,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida por derivadas parciais: se \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) então
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Calculando para nosso \mathbf{F}: F_x=z, F_y=y, F_z=-zx. Portanto
\frac{\partial F_x}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial z}=-x.
Logo a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=1-x.
Portanto o fluxo pedido é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}(1-x)\,dV.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \iiint_{V}(1-x)\,dV separamos em dois termos por linearidade:
\iiint_{V}(1-x)\,dV=\iiint_{V}1\,dV-\iiint_{V}x\,dV.
O primeiro termo é o volume do tetraedro V:
\text{Vol}(V)=\iiint_{V}1\,dV.
O segundo termo é o momento de primeiro grau em x:
M_x=\iiint_{V}x\,dV.
Vamos calcular \text{Vol}(V) e M_x de forma simples e limpa sem longas integrais.

Passo 4

Cálculo do volume do tetraedro. Para o tetraedro determinado por \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 com x,y,z\ge 0, é conhecido (e fácil de ver por mudança de escala) que
\text{Vol}=\frac{abc}{6}.
No nosso caso a=2, b=3, c=4. Portanto
\text{Vol}(V)=\frac{2\cdot 3\cdot 4}{6}=\frac{24}{6}=4.
(Se quiser ver a ideia: transforme x=ax',y=by',z=cz'; a região mapeia para o tetraedro padrão x'+y'+z'\le1 com volume 1/6; o jacobiano dá o fator abc.)

Passo 5

Cálculo de \displaystyle M_x=\iiint_{V}x\,dV. Uma forma elegante: o centróide (centro de massa uniforme) do tetraedro com vértices em (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) tem coordenadas
\left(\frac{a}{4},\frac{b}{4},\frac{c}{4}\right).
Isto porque o centróide de um simplex é a média aritmética das coordenadas dos vértices. Assim a coordenada x média no volume é a/4. Então
M_x=\iiint_{V}x\,dV=\text{Vol}(V)\cdot\left(\frac{a}{4}\right).
No nosso caso a=2 e \text{Vol}(V)=4, logo
M_x=4\cdot\frac{2}{4}=2.

Passo 6

Agora juntamos os resultados:
\iiint_{V}(1-x)\,dV=\text{Vol}(V)-M_x=4-2=2.
Portanto o fluxo através de S é 2. Bom trabalho! Conseguimos evitar integrais pesadas usando propriedades geométricas simples.

Resposta

2

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