Use o Teorema de Gauss para calcular
:
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+y \mathbf{j}-z x \mathbf{k}, \mathrm{~S} é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+y \mathbf{j}-z x \mathbf{k}, \mathrm{~S} é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
onde a campo vectorial é
e
é a superfície fechada do tetraedro limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- O tetraedro intercepta os eixos nas posições
, e (obtemos isto fazendo , , respectivamente). - A superfície
é uma superfície fechada que envolve o volume desse tetraedro.
O que se pede: o valor numérico do fluxo total.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência): para um campo vetorial suave
definido num volume
com superfície fechada
,
Aqui
é a divergência de
, definida por derivadas parciais: se
então
Calculando para nosso
:
,
,
. Portanto
Logo a divergência é
Portanto o fluxo pedido é
Passo 3
Para calcular
separamos em dois termos por linearidade:
O primeiro termo é o volume do tetraedro
:
O segundo termo é o momento de primeiro grau em
:
Vamos calcular
e
de forma simples e limpa sem longas integrais.
Passo 4
Cálculo do volume do tetraedro. Para o tetraedro determinado por
com
, é conhecido (e fácil de ver por mudança de escala) que
No nosso caso
,
,
. Portanto
(Se quiser ver a ideia: transforme
; a região mapeia para o tetraedro padrão
com volume
; o jacobiano dá o fator
.)
Passo 5
Cálculo de
. Uma forma elegante: o centróide (centro de massa uniforme) do tetraedro com vértices em
,
,
,
tem coordenadas
Isto porque o centróide de um simplex é a média aritmética das coordenadas dos vértices. Assim a coordenada
média no volume é
. Então
No nosso caso
e
, logo
Passo 6
Agora juntamos os resultados:
Portanto o fluxo através de
é
. Bom trabalho! Conseguimos evitar integrais pesadas usando propriedades geométricas simples.