(2,0) Considerando a expressão de \frac{3 x-4}{x^{2}-x-6}
a) Determinar a decomposição e frações parciais.
b) \int \frac{3 x-4}{x^{2}-x-6} d x

Passo 1

O enunciado dá a função racional
\frac{3x-4}{x^{2}-x-6}
e pede duas coisas:
a) Determinar a decomposição em frações parciais dessa função;
b) Calcular a integral indefinida
\int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\,dx.
Informações relevantes que temos (listadas sem começar a resolver): o numerador é o polinômio 3x-4 e o denominador é o polinômio x^{2}-x-6. A função é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). A próxima etapa é decompor essa fração em partes mais simples e depois integrar.

Passo 2

Explicando a ideia das frações parciais (aula rápida e prática): quando um denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, uma fração racional própria pode ser escrita como soma de termos do tipo constante sobre cada fator linear. Ou seja, se
x^{2}-x-6=(x-a)(x-b)
com a\neq b, então podemos procurar constantes A e B tais que
\frac{3x-4}{x^{2}-x-6}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}.
Esse procedimento facilita a integração porque integrar 1/(x-a) é direto. Agora vamos aplicar isso ao nosso caso concreto.

Passo 3

Primeiro precisamos fatorar o denominador. Vamos fatorar o polinômio x^{2}-x-6. Procuramos dois números cuja soma seja -1 (coeficiente de x) e cujo produto seja -6. Esses números são -3 e 2, logo
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto, pela forma explicada, procuramos A e B tais que
\frac{3x-4}{x^{2}-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.

Passo 4

Para encontrar A e B multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x+2) e obtemos a identidade polinomial
3x-4 = A(x+2) + B(x-3).
Agora desenvolvemos o lado direito e agrupamos termos em x:
A(x+2)+B(x-3)=Ax+2A+Bx-3B=(A+B)x+(2A-3B).
Comparando coeficientes do polinômio com o lado esquerdo 3x-4, obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B=3,\\[4pt] 2A-3B=-4. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas): da primeira equação temos
A=3-B.
Substituindo na segunda:
2(3-B)-3B=-4.
Calculando term a term:
6-2B-3B=-4,
6-5B=-4,
-5B=-10,
B=2.
Com B=2, da primeira equação:
A=3-B=3-2=1.
Logo os coeficientes são A=1 e B=2. Podemos conferir recompondo:
\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{x+2+2x-6}{x^{2}-x-6}=\frac{3x-4}{x^{2}-x-6},
confirmando que a decomposição está correta.

Passo 6

Agora que temos a decomposição, vamos integrar termo a termo. Relembrando a fórmula básica (mini-aula): para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
A demonstração rápida: faça a substituição u=x-a, então du=dx e a integral fica \int u^{-1}du=\ln|u|+C.
Aplicando essa regra ao nosso caso,
\int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\,dx=\int\left(\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x+2}\right)dx.
Integramos cada parcela:
\int \frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|+C_1,
\int \frac{2}{x+2}\,dx=2\int\frac{1}{x+2}\,dx=2\ln|x+2|+C_2.
Somando e juntando constantes C_1 e C_2 numa só constante C, obtemos
\int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\,dx=\ln|x-3|+2\ln|x+2|+C.

Resposta

a) \displaystyle \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x+2}
b) \displaystyle \int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\,dx=\ln|x-3|+2\ln|x+2|+C

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