Considerando a expressão de
a) Determinar a decomposição e frações parciais.
b)
a) Determinar a decomposição e frações parciais.
b)
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
a) Determinar a decomposição em frações parciais dessa função;
b) Calcular a integral indefinida
b) Calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos (listadas sem começar a resolver): o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio
. A função é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). A próxima etapa é decompor essa fração em partes mais simples e depois integrar.
Passo 2
Explicando a ideia das frações parciais (aula rápida e prática): quando um denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, uma fração racional própria pode ser escrita como soma de termos do tipo constante sobre cada fator linear. Ou seja, se
com
, então podemos procurar constantes
e
tais que
Esse procedimento facilita a integração porque integrar
é direto. Agora vamos aplicar isso ao nosso caso concreto.
Passo 3
Primeiro precisamos fatorar o denominador. Vamos fatorar o polinômio
. Procuramos dois números cuja soma seja
(coeficiente de
) e cujo produto seja
. Esses números são
e
, logo
Portanto, pela forma explicada, procuramos
e
tais que
Passo 4
Para encontrar
e
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a identidade polinomial
Agora desenvolvemos o lado direito e agrupamos termos em
:
Comparando coeficientes do polinômio com o lado esquerdo
, obtemos o sistema linear
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas): da primeira equação temos
Substituindo na segunda:
Calculando term a term:
Com
, da primeira equação:
Logo os coeficientes são
e
. Podemos conferir recompondo:
confirmando que a decomposição está correta.
Passo 6
Agora que temos a decomposição, vamos integrar termo a termo. Relembrando a fórmula básica (mini-aula): para qualquer constante
,
A demonstração rápida: faça a substituição
, então
e a integral fica
.
Aplicando essa regra ao nosso caso,
Integramos cada parcela:
Somando e juntando constantes
e
numa só constante
, obtemos
Resposta
a)
b)
b)