Avalie a integral.
integral t e^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral t e^2t,dt. Este é um tema de Integração por Partes, e vamos precisar lembrar da fórmula que relaciona a integral de u,dv com u e v.

Passo 2

A integração por partes diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = t, dv = e^2t,dt

Passo 3

Calculamos daí
du = dt
e
v = integral e^2t,dt = 12e^2t

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes temos
integral t e^2t,dt = t cdot 12e^2t - integral 12e^2t,dt

Passo 5

Agora integramos o termo restante:
integral 12e^2t,dt = 12 cdot 12e^2t = 14e^2t

Passo 6

Reunindo tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral t e^2t,dt = t2e^2t - 14e^2t + C
Podemos ainda fatorar e^2t para simplificar.

Resposta

e^2tl(t2-14r) + C

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