Seja uma função derivável
com
. Calcule:
Passo 1
Neste exercício, temos uma função derivável f: R → R com f(0)=0 e queremos calcular o limite
. O conteúdo principal é a definição de derivada e a aproximação linear de f perto de 0.
Passo 2
Pela definição de derivada em 0 temos
Como f(0)=0 isso vira
Em particular, se tomarmos
e fizermos
, teremos essa mesma relação.
Passo 3
Repare que
Portanto, ao levarmos o limite quando
, ganha-se
Aqui usamos que a diferenciabilidade em 0 garante a aproximação linear
para
pequeno.
Passo 4
Assim concluímos que o valor do limite pedido é justamente a derivada de f em zero.