Seja uma função derivável f: R R com f(0)=0. Calcule:
lim n infty n cdot f(1 / n)

Passo 1

Neste exercício, temos uma função derivável f: R → R com f(0)=0 e queremos calcular o limite limntoinfty n,f(1/n). O conteúdo principal é a definição de derivada e a aproximação linear de f perto de 0.

Passo 2

Pela definição de derivada em 0 temos
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x
Como f(0)=0 isso vira
f'(0)=limxto0f(x)x
Em particular, se tomarmos x=1/n e fizermos ntoinfty, teremos essa mesma relação.

Passo 3

Repare que
f(1/n)1/n=n,f(1/n)
Portanto, ao levarmos o limite quando ntoinfty, ganha-se
limntoinftyn,f(1/n)=limntoinftyf(1/n)1/n=f'(0)
Aqui usamos que a diferenciabilidade em 0 garante a aproximação linear f(x)approx f'(0)x para x pequeno.

Passo 4

Assim concluímos que o valor do limite pedido é justamente a derivada de f em zero.

Resposta

f'(0)

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