Uma sequência (
) é gerada introduzindo-se um número em uma calculadora e pressionando-se a tecla
. Para que valores de
a sequência é convergente.
Passo 1
Temos uma sequência gerada pela iteração da função f(x)=1/x, ou seja, começamos com a₀=x e em cada passo aplicamos a tecla 1/x para obter aₙ₊₁=1/aₙ. Vamos estudar para quais valores de x essa sequência converge.
Passo 2
Observando as primeiras iterações, temos a₁=1/x e a₂=1/(1/x)=x. Por indução simples nota-se que para todo n≥0: a₂ₙ=x e a₂ₙ₊₁=1/x. Então a sequência oscila entre x e 1/x.
Passo 3
Para que a sequência convirja, as duas sub-sequências (pares e ímpares) devem ter o mesmo limite. Logo devemos ter x=1/x.
Passo 4
Resolvendo x=1/x obtemos x²=1, cujo conjunto de soluções é x=1 ou x=−1. Note que x=0 não é permitido (divisão por zero).
Passo 5
Verificando, para x=1 temos sempre aₙ=1; para x=−1 temos sempre aₙ=−1. Em ambos os casos a sequência é constante e portanto converge.
Resposta
A sequência converge somente para x=1 ou x=−1.