Uma sequência ( an ) é gerada introduzindo-se um número em uma calculadora e pressionando-se a tecla llbracket 1 / x rrbracket. Para que valores de x a sequência é convergente.

Passo 1

Temos uma sequência gerada pela iteração da função f(x)=1/x, ou seja, começamos com a₀=x e em cada passo aplicamos a tecla 1/x para obter aₙ₊₁=1/aₙ. Vamos estudar para quais valores de x essa sequência converge.

Passo 2

Observando as primeiras iterações, temos a₁=1/x e a₂=1/(1/x)=x. Por indução simples nota-se que para todo n≥0: a₂ₙ=x e a₂ₙ₊₁=1/x. Então a sequência oscila entre x e 1/x.

Passo 3

Para que a sequência convirja, as duas sub-sequências (pares e ímpares) devem ter o mesmo limite. Logo devemos ter x=1/x.

Passo 4

Resolvendo x=1/x obtemos x²=1, cujo conjunto de soluções é x=1 ou x=−1. Note que x=0 não é permitido (divisão por zero).

Passo 5

Verificando, para x=1 temos sempre aₙ=1; para x=−1 temos sempre aₙ=−1. Em ambos os casos a sequência é constante e portanto converge.

Resposta

A sequência converge somente para x=1 ou x=−1.

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