Avalie a integral.
t sec ^2(t^2) g^4(t^2) d t

Passo 1

A integral que temos é integral t,sec^2(t^2),tan^4(t^2),dt. Isso é conteúdo de substituição em cadeia e integração de potências de tan com sec^2.

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição: seja u = t^2. Então du = 2t,dt, ou seja, t,dt = tfrac12du. Substituindo em bloco, a integral fica
integral t,sec^2(t^2),tan^4(t^2),dt = 12integraltan^4(u),sec^2(u),du

Passo 3

Agora vemos que sec^2(u),du é a derivada de tan(u). Então fazemos w = tan(u), obtendo dw = sec^2(u),du. A integral vira
12integral w^4,dw

Passo 4

Integrando a potência de w, temos
12cdotw^55 + C = w^510 + C

Passo 5

Por fim, voltamos às variáveis originais: w = tan(u) e u = t^2. Assim chegamos em
tan^5(t^2)10 + C

Resposta

tan^5(t^2)10 + C

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