Calcule os limites: lim x 0 raiz[3]8-2 x+x^2-2x-x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0 raiz[3]8-2x+x^2-2x-x^2. O conteúdo aqui envolve limites e a expansão linear (desenvolvimento de Taylor de ordem 1) da função f(t)=t^1/3 em torno de t=8. Vamos usar a derivada de f para aproximar o numerador.

Passo 2

Para aproximar raiz[3]8-2x+x^2 perto de x=0, definimos De e usamos a expansão linear
f(8+De
onde
f'(t)=13,t^2/3Rightarrow f'(8)=13cdot4=112
Assim, o numerador fica
raiz[3]8-2x+x^2-2 approx 2 + De

Passo 3

O denominador é
x - x^2 = x(1 - x)
Logo, a expressão inteira é
-tfracx6 + tfracx^212x(1-x) = xl(-tfrac16 + tfracx12r)x(1-x) = -tfrac16 + tfracx121-x

Passo 4

Ao fazer xto0, o termo tfracx12 some e 1-xto1. Portanto o limite vale
-16

Resposta

-\tfrac{1}{6}

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