O movimento de um determinado sistema de massa-mola é governado pela equação diferencial y^prime prime+20 y^prime+196 y=0, onde y é medido em metros e t em segundos. Se y(0)=2 e y^prime(0)=0. Podemos afirmar que a equação que determina a posição da massa em qualquer tempo; assim como a quasi-frequência mu; o quasi-periódo Td; a amplitude R do movimento; o ângulo de fase de e o primeiro instante t0 para o qual a massa passa pela sua posição de equilíbrio são respectivamente:
a nenhuma das demais alternativas
l y(t)=e^-10 t[2 cos (4 raiz6 t)-5raiz6 sen(4 raiz6 t)] ; mu=4 raiz6 ; Td=pi2 raiz6 ; R=7raiz6 ; de
d y(t)=e^-10 t[2 cos (raiz6 t)+2raiz6 sen(raiz6 t)] ; mu=raiz6 ; Td=2 piraiz6 ; R=raiz296 ; de; t0=2 de.

Passo 1

No enunciado temos a EDO homogênea de 2ª ordem amortecida
y'' + 20y' + 196y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=0. O conteúdo é movimento subamortecido; vamos usar a equação característica e depois reescrever na forma exponencial-cosseno com fase.

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 + 20r + 196 = 0
O discriminante é Δ = 20^2 - 4·196 = -384 < 0, logo as raízes são
r = -10 ,pm,4raiz6,i
e identificamos a quasi-frequência
mu = 4raiz6 .

Passo 3

A solução geral fica
y(t) = e^-10tl(Ccos(4raiz6,t) + Dsin(4raiz6,t)r)
Impondo y(0)=2 obtemos C = 2.

Passo 4

Para achar D, derivamos
y'(t) = e^-10tl(-10Ccos(mu t) -10Dsin(mu t) - Cmusin(mu t) + Dmucos(mu t)r)
Em t=0 vale y’(0)= -10C + D\mu = 0, logo
D = 10Cmu = 204raiz6 = 5raiz6

Passo 5

Substituindo C e D na solução geral:
y(t) = e^-10tl[2cos(4raiz6,t) + 5raiz6sin(4raiz6,t)r]
Para escrever na forma de amplitude e fase, usemos
y(t) = R,e^-10tcosl(4raiz6,t - de
em que
R = raizC^2 + D^2 = raiz4 + 256 = 7raiz6,
tande

Passo 6

O quasi-período (período amortecido) é
Td = 2pimu = 2pi4raiz6 = pi2raiz6
O primeiro instante t_0 em que y=0 (passa na posição de equilíbrio) satisfaz
4raiz6,t0 - de

Resposta

y(t)=e^{-10t}\Bigl[2\cos(4\sqrt6,t)-\tfrac{5}{\sqrt6},\sin(4\sqrt6,t)\Bigr];\quad\mu=4\sqrt6;\quad T_d=\tfrac{\pi}{2\sqrt6};\quad R=\tfrac{7}{\sqrt6};\quad \delta=\arctan\bigl(\tfrac{5}{2\sqrt6}\bigr);\quad t_0=\frac{2\delta+\pi}{2\mu}

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