O movimento de um determinado sistema de massa-mola é governado pela equação diferencial
, onde
é medido em metros e
em segundos. Se
e
. Podemos afirmar que a equação que determina a posição da massa em qualquer tempo; assim como a quasi-frequência
; o quasi-periódo
; a amplitude
do movimento; o ângulo de fase
e o primeiro instante
para o qual a massa passa pela sua posição de equilíbrio são respectivamente:
a nenhuma das demais alternativas
d
;
.
a nenhuma das demais alternativas
Passo 1
No enunciado temos a EDO homogênea de 2ª ordem amortecida
com condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=0. O conteúdo é movimento subamortecido; vamos usar a equação característica e depois reescrever na forma exponencial-cosseno com fase.
Passo 2
Formamos a equação característica
O discriminante é Δ = 20^2 - 4·196 = -384 < 0, logo as raízes são
e identificamos a quasi-frequência
Passo 3
A solução geral fica
Impondo y(0)=2 obtemos C = 2.
Passo 4
Para achar D, derivamos
Em t=0 vale y’(0)= -10C + D\mu = 0, logo
Passo 5
Substituindo C e D na solução geral:
Para escrever na forma de amplitude e fase, usemos
em que
Passo 6
O quasi-período (período amortecido) é
O primeiro instante t_0 em que y=0 (passa na posição de equilíbrio) satisfaz
Resposta
y(t)=e^{-10t}\Bigl[2\cos(4\sqrt6,t)-\tfrac{5}{\sqrt6},\sin(4\sqrt6,t)\Bigr];\quad\mu=4\sqrt6;\quad T_d=\tfrac{\pi}{2\sqrt6};\quad R=\tfrac{7}{\sqrt6};\quad \delta=\arctan\bigl(\tfrac{5}{2\sqrt6}\bigr);\quad t_0=\frac{2\delta+\pi}{2\mu}