Avalie a integral tripla
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
e
no primeiro octante. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cartesianas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
. O cilindro
é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo
. Como estamos no primeiro octante, temos
,
e
. Além disso, os planos
,
e
vão delimitar essa região.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começando por
, como
e estamos no primeiro octante,
varia de 0 até o ponto onde
atinge o limite do cilindro.
Para
, o cilindro nos dá
. No plano
, temos
. Então,
varia de 0 a
, mas também está limitado por
. Portanto, para cada
,
vai de
até a interseção com o cilindro, que é
, mas vamos simplificar isso nos próximos passos.
Passo 4
Agora, para
, observamos que ele varia de 0 até a altura definida pelo cilindro. Rearranjando a equação do cilindro, temos
. Então, para cada par
,
vai de 0 até
.
Passo 5
Vamos estabelecer a ordem das integrais. Uma boa estratégia é integrar primeiro em
, depois em
e por último em
. Assim, nossa integral fica:
O limite superior para
é
porque quando
,
dá
.
Passo 6
Vamos realizar a integração em
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em
:
Calculando:
Passo 8
Simplificando a expressão acima:
Passo 9
Finalmente, integramos em
:
Calculando:
Resposta
O valor da integral tripla é
.