Avalie a integral tripla
integralegral triplaE z d V
onde E é a região limitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=2 x e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaE z , dV, onde E é a região limitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=2x e z=0 no primeiro octante. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cartesianas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região E. O cilindro y^2+z^2=9 é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo x. Como estamos no primeiro octante, temos x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Além disso, os planos x=0, y=2x e z=0 vão delimitar essa região.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começando por x, como y = 2x e estamos no primeiro octante, x varia de 0 até o ponto onde y atinge o limite do cilindro.
Para y, o cilindro nos dá y^2 + z^2 = 9. No plano z=0, temos y = 3. Então, y varia de 0 a 3, mas também está limitado por y = 2x. Portanto, para cada x, y vai de 2x até a interseção com o cilindro, que é raiz9 - z^2, mas vamos simplificar isso nos próximos passos.

Passo 4

Agora, para z, observamos que ele varia de 0 até a altura definida pelo cilindro. Rearranjando a equação do cilindro, temos z = raiz9 - y^2. Então, para cada par (x, y), z vai de 0 até raiz9 - y^2.

Passo 5

Vamos estabelecer a ordem das integrais. Uma boa estratégia é integrar primeiro em z, depois em y e por último em x. Assim, nossa integral fica:
integralx=0^x= 32 integraly=2x^y=3 integralz=0^z=raiz9 - y^2 z , dz , dy , dx
O limite superior para x é 32 porque quando y=3, y=2x x=32.

Passo 6

Vamos realizar a integração em z primeiro:
integral0^raiz9 - y^2 z , dz = [ z^22 ]0^raiz9 - y^2 = (9 - y^2)2

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em y:
integral2x^3 9 - y^22 , dy = 12 [ 9y - y^33 ]2x^3
Calculando:
12 [ 9(3) - 3^33 - ( 9(2x) - (2x)^33 ) ] = 12 [ 27 - 9 - (18x - 8x^33) ] = 12 [ 18 - 18x + 8x^33 ]

Passo 8

Simplificando a expressão acima:
12 [ 18 - 18x + 8x^33 ] = 9 - 9x + 4x^33

Passo 9

Finalmente, integramos em x:
integral0^32 ( 9 - 9x + 4x^33 ) , dx = [ 9x - 9x^22 + 4x^412 ]0^32
Calculando:
9(32) - 9(32)^22 + 4(32)^412 = 272 - 818 + 8112
= 1088 - 818 + 548 = 818 = 10,125

Resposta

O valor da integral tripla é 818.

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