( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
3 d y(t)d t+2 y(t)=2 x(t)
em que x(t) representa a entrada do sistema e y(t) sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para t >= 0.
Determine a estabilidade BIBO do sistema. Justifique.

Passo 1

Estamos diante de um sistema linear contínuo descrito pela equação diferencial de primeira ordem com condições iniciais nulas. O conteúdo é teoria de sistemas LTI e estabilidade BIBO – em particular, vamos precisar achar a resposta ao impulso e checar se ela é absolutamente integrável, pois esse é o critério para estabilidade BIBO.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace à equação
3d y(t)d t + 2y(t) = 2x(t)
(considerando condições iniciais nulas) e obtemos
3sY(s) + 2Y(s) = 2X(s)
Fatorando em Y(s) temos
Y(s)(3s+2) = 2X(s)
Logo, a função de transferência é
H(s) = Y(s)X(s) = 23s+2

Passo 3

Para achar a resposta ao impulso, fazemos a transformada inversa de Laplace de H(s). Reconhecendo a forma 1/(s + a), vem
h(t) = 23e^-23tu(t)
onde u(t) é o degrau de Heaviside.

Passo 4

O critério de estabilidade BIBO diz que o sistema é estável se
integral0^infty|h(t)|,dt < infty
Calculamos essa integral:
$$
\int_{0}{\infty}\frac{2}{3}e{-\frac{2}{3}t},dt
= \frac{2}{3} \int_{0}{\infty}e{-\frac{2}{3}t},dt
= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1.
$$
Como o resultado é finito, a condição de estabilidade BIBO está satisfeita.

Passo 5

Concluímos, portanto, que o sistema é BIBO estável porque sua resposta ao impulso é absolutamente integrável.

Resposta

O sistema é BIBO estável, pois sua resposta ao impulso h(t)=tfrac23e^-tfrac23tu(t) é absolutamente integrável ( integral0^infty|h(t)|dt=1).

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