( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
em que
representa a entrada do sistema e
sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para
.
Determine a estabilidade BIBO do sistema. Justifique.
Determine a estabilidade BIBO do sistema. Justifique.
Passo 1
Estamos diante de um sistema linear contínuo descrito pela equação diferencial de primeira ordem com condições iniciais nulas. O conteúdo é teoria de sistemas LTI e estabilidade BIBO – em particular, vamos precisar achar a resposta ao impulso e checar se ela é absolutamente integrável, pois esse é o critério para estabilidade BIBO.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace à equação
(considerando condições iniciais nulas) e obtemos
Fatorando em Y(s) temos
Logo, a função de transferência é
Passo 3
Para achar a resposta ao impulso, fazemos a transformada inversa de Laplace de
. Reconhecendo a forma
, vem
onde
é o degrau de Heaviside.
Passo 4
O critério de estabilidade BIBO diz que o sistema é estável se
Calculamos essa integral:
$$
\int_{0}{\infty}\frac{2}{3}e{-\frac{2}{3}t},dt
= \frac{2}{3} \int_{0}{\infty}e{-\frac{2}{3}t},dt
= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1.
= \frac{2}{3} \int_{0}{\infty}e{-\frac{2}{3}t},dt
= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1.
$$
Como o resultado é finito, a condição de estabilidade BIBO está satisfeita.
Como o resultado é finito, a condição de estabilidade BIBO está satisfeita.
Passo 5
Concluímos, portanto, que o sistema é BIBO estável porque sua resposta ao impulso é absolutamente integrável.
Resposta
O sistema é BIBO estável, pois sua resposta ao impulso
é absolutamente integrável (
).