Avalie
, onde
é o cilindro
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o cilindro definido por
entre
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com cilindros e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
vira
. A gente também observa que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o cilindro tem
, isso significa que
varia de
a
(porque
). O ângulo
vai dar uma volta completa, então de
a
. E para
, já está especificado que vai de
a
. Então:
-
: de a -
: de a -
: de a
Passo 4
Vamos montar a integral com esses limites:
Simplificando o integrando
que dá
:
Agora, vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Então, a integral fica:
Integrando em
:
Finalmente, integrando em
:
Resposta
A integral tripla vale
.