Avalie integral triplaV 1raizx^2+y^2 d V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 9 entre z=0 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaV 1raizx^2+y^2 d V, onde V é o cilindro definido por x^2+y^2 <= 9 entre z=0 e z=4. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com cilindros e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
E o elemento de volume dV vira r , dr , dtheta , dz. A gente também observa que raizx^2+y^2 = r. Então, nossa integral fica:
integral triplaV 1r cdot r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o cilindro tem x^2+y^2 <= 9, isso significa que r varia de 0 a 3 (porque r = raiz9 = 3). O ângulo theta vai dar uma volta completa, então de 0 a 2pi. E para z, já está especificado que vai de 0 a 4. Então:
  • r: de 0 a 3
  • theta: de 0 a 2pi
  • z: de 0 a 4

Passo 4

Vamos montar a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^3 integral0^4 1r cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando o integrando 1r cdot r que dá 1:
integral0^2pi integral0^3 integral0^4 1 , dz , dr , dtheta
Agora, vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em z:
integral0^4 1 , dz = 4
Então, a integral fica:
4 integral0^2pi integral0^3 , dr , dtheta
Integrando em r:
4 integral0^2pi [r]0^3 , dtheta = 4 integral0^2pi 3 , dtheta = 12 integral0^2pi , dtheta
Finalmente, integrando em theta:
12 [theta]0^2pi = 12 cdot 2pi = 24pi

Resposta

A integral tripla vale 24,pi.

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