Calcule integral triplaV rho d V, onde V é a esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaV rho , dV, onde V é uma esfera de raio 2 centrada na origem. Isso faz parte dos estudos de cálculo integral, especificamente usando coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar saber como configurar a integral em coordenadas esféricas e entender os limites de integração para uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: o raio r, o ângulo polar theta (que vai de cima para baixo) e o ângulo azimutal phi (que vai em torno do eixo). A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (r, theta, phi) é dada por:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta

Passo 3

Sabemos que o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Isso significa que, para integrar sobre a esfera, vamos multiplicar rho por esse elemento de volume.

Passo 4

Como a esfera tem raio 2 e está centrada na origem, os limites de integração são:
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi, 0 <= phi <= 2pi
Isso cobre todo o interior da esfera.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites:
integral triplaV rho , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 rho , r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Vamos assumir que rho é constante, ou seja, não depende de r, theta ou phi.

Passo 6

Podemos separar a integral, já que rho é constante:
rho integral0^2pi dphi integral0^pi sintheta , dtheta integral0^2 r^2 , dr

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. integral0^2pi dphi = 2pi
  2. integral0^pi sintheta , dtheta = 2
  3. integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
rho times 2pi times 2 times 83 = rho times 32pi3

Resposta

A integral tripla é igual a dfrac323 pi rho.

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