Calcule
, onde
é a esfera de raio 2 centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é uma esfera de raio 2 centrada na origem. Isso faz parte dos estudos de cálculo integral, especificamente usando coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar saber como configurar a integral em coordenadas esféricas e entender os limites de integração para uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
(que vai de cima para baixo) e o ângulo azimutal
(que vai em torno do eixo). A relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
Passo 3
Sabemos que o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Isso significa que, para integrar sobre a esfera, vamos multiplicar
por esse elemento de volume.
Passo 4
Como a esfera tem raio 2 e está centrada na origem, os limites de integração são:
Isso cobre todo o interior da esfera.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites:
Vamos assumir que
é constante, ou seja, não depende de
,
ou
.
Passo 6
Podemos separar a integral, já que
é constante:
Passo 7
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral tripla é igual a
.