Calcule
.
Passo 1
Vamos calcular a integral triple de uma função radial sobre a região S:
. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas esféricas e a substituição para integrar
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, usamos as variáveis
com
,
,
e elemento de volume
. Como
, temos
. Então a integral vira
Passo 3
A parte angular separa-se facilmente:
Passo 4
Sobramos então
Passo 5
Para essa integral radial, fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim: