Calcule
integral triplaS cos raiz(x^2+y^2+z^2)^3 d V, S=(x, y, z) mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 36.

Passo 1

Vamos calcular a integral triple de uma função radial sobre a região S: 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 36. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas esféricas e a substituição para integrar cos(raiz(x^2+y^2+z^2)^3).

Passo 2

Em coordenadas esféricas, usamos as variáveis (r,theta,phi) com x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi e elemento de volume dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Como r=raizx^2+y^2+z^2, temos raiz(x^2+y^2+z^2)^3=r^3. Então a integral vira
integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralr=1^6cos(r^3),r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 3

A parte angular separa-se facilmente:
integraltheta=0^2pidthetaintegralphi=0^pisinphi,dphi = 2pi times 2 = 4pi

Passo 4

Sobramos então
4pi integralr=1^6 cos(r^3),r^2,dr

Passo 5

Para essa integral radial, fazemos a substituição u=r^3, de modo que du=3r^2,dr ou r^2,dr=tfrac13du. Quando r=1, u=1; quando r=6, u=6^3=216. Assim:
4pi integral1^6cos(r^3),r^2,dr = 4pi cdot 13 integralu=1^216 cos(u),du = 4pi3l[sin(u)r]1^216

Resposta

4pi3l(sin(216)-sin(1)r).

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