Avalie
, onde
é o hemisfério superior da esfera de raio 4 centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre o volume
, que é o hemisfério superior de uma esfera de raio 4 centrada na origem. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar, porque o volume é uma esfera. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar as fórmulas das coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como funciona o sistema de coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
(a distância até a origem),
(o ângulo polar, que vai do eixo positivo
para baixo) e
(o ângulo azimutal, que gira em torno do eixo
). A fórmula para o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Nosso objetivo é calcular a integral tripla:
Substituindo
pela expressão em coordenadas esféricas, temos:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para cada variável. Como
é o hemisfério superior de uma esfera de raio 4:
-
vai de 0 até 4 (o raio da esfera). -
vai de 0 até (já que estamos no hemisfério superior). -
vai de 0 até (uma volta completa ao redor do eixo ).
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, vamos para a integral em
:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Por último, integramos em
:
Passo 8
Agora, juntamos todos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla é
.