Avalie integral triplaV sin phi d V, onde V é o hemisfério superior da esfera de raio 4 centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sin phi sobre o volume V, que é o hemisfério superior de uma esfera de raio 4 centrada na origem. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar, porque o volume é uma esfera. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar as fórmulas das coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona o sistema de coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: r (a distância até a origem), phi (o ângulo polar, que vai do eixo positivo z para baixo) e theta (o ângulo azimutal, que gira em torno do eixo z). A fórmula para o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Nosso objetivo é calcular a integral tripla:
integral triplaV sin phi , dV
Substituindo dV pela expressão em coordenadas esféricas, temos:
integral triplaV sin phi cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta = integral triplaV r^2 sin^2 phi , dr , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para cada variável. Como V é o hemisfério superior de uma esfera de raio 4:
  • r vai de 0 até 4 (o raio da esfera).
  • phi vai de 0 até pi2 (já que estamos no hemisfério superior).
  • theta vai de 0 até 2pi (uma volta completa ao redor do eixo z).
Então, nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^4 r^2 sin^2 phi , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^4 r^2 , dr = [ r^33 ]0^4 = 4^33 - 0 = 643

Passo 6

Agora, vamos para a integral em phi:
integral0^pi2 sin^2 phi , dphi
Para integrar sin^2 phi, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 phi = 1 - cos(2phi)2
Então,
integral0^pi2 1 - cos(2phi)2 , dphi = 12 [ phi - sin(2phi)2 ]0^pi2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4

Passo 7

Por último, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Agora, juntamos todos os resultados das integrais:
643 times pi4 times 2pi = 643 times pi4 times 2pi = 643 times pi cdot 2pi4 = 643 times 2pi^24 = 643 times pi^22 = 32pi^23

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac32pi^23.

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