Resolva integral triplaV(x^2+y^2+z^2) d V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 1 entre z=-1 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaV(x^2+y^2+z^2) d V. O enunciado nos diz que V é um cilindro definido por x^2+y^2 <= 1 e que está entre z = -1 e z = 1.
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para objetos com simetria cilíndrica como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o volume V é um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes substituições:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • dV = r , dr , dtheta , dz
Isso simplifica a integração, já que a região de integração tem simetria cilíndrica.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas cilíndricas:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2
Então, a integral fica:
integral triplaV (r^2 + z^2) , r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • Para r: de 0 a 1 (já que x^2+y^2 <= 1)
  • Para theta: de 0 a 2pi (circunferência completa)
  • Para z: de -1 a 1
Portanto, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integral-1^1 (r^2 + z^2) , r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral-1^1 (r^2 + z^2) , dz = integral-1^1 r^2 , dz + integral-1^1 z^2 , dz
Calculando cada parte:
  1. integral-1^1 r^2 , dz = r^2 cdot (1 - (-1)) = 2r^2
  2. integral-1^1 z^2 , dz = [ z^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23
Então, a integral em z é 2r^2 + 23.

Passo 6

Agora, substituímos na integral dupla restante:
integral0^2pi integral0^1 (2r^2 + 23) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (2r^3 + 23r) dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em r:
integral0^1 (2r^3 + 23r) dr = 2 cdot r^44 |0^1 + 23 cdot r^22 |0^1 = 24 + 26 = 12 + 13 = 56

Passo 8

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pi 56 , dtheta = 56 cdot 2pi = 5pi3

Resposta

O valor da integral tripla é 5pi3.

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