Calcule usando frações parciais:
integral x^2+1x^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2+1x^2-9,dx usando frações parciais. Vamos precisar dividir polinômios para simplificar a expressão e depois decompor em frações parciais a parte que sobrar.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios: note que x^2+1 = (x^2-9) + 10. Então
x^2+1x^2-9 = 1 + 10x^2-9

Passo 3

Agora vamos decompor 1x^2-9 em frações parciais. Como x^2-9=(x-3)(x+3), supomos
1x^2-9 = Ax-3 + Bx+3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) e igualando coeficientes, obtemos
A(x+3) + B(x-3) = 1 Rightarrow A+B=0,;3A-3B=1

Passo 5

Resolvendo, A=tfrac16 e B=-tfrac16. Então
1x^2-9 = 1/6x-3 - 1/6x+3

Passo 6

Substituindo de volta em 1 + 10x^2-9 temos
x^2+1x^2-9 = 1 + 106l(1x-3 - 1x+3r) = 1 + 53l(1x-3 - 1x+3r)

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral 1,dx = x,
integral 1x-3,dx = lnlvert x-3rvert, integral 1x+3,dx = lnlvert x+3rvert

Passo 8

Juntando tudo,
integral x^2+1x^2-9,dx = x + 53l(lnlvert x-3rvert - lnlvert x+3rvertr) + C

Resposta

x + 53lnllvertx-3x+3rrvert + C

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