Calcule usando integração por partes:
integral sen(2 x) e^sen x d x

Passo 1

O problema pede para calcular integral sin(2x)e^sin x,dx usando integração por partes e substituições adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica sin(2x)=2sin xcos x. Assim
integral sin(2x)e^sin x,dx = integral 2sin xcos x;e^sin x,dx
Agora fazemos a substituição t=sin x, de modo que dt=cos x,dx. Com isso temos
integral 2sin xcos x;e^sin x,dx = 2integral t,e^t,dt
Precisamos então calcular integral t,e^t,dt. Usando integração por partes, seja u=t e dv=e^t,dt. Então du=dt e v=e^t. Assim
integral t,e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = t e^t - e^t + C = e^t(t-1)+C
Multiplicando por 2 e revertendo a substituição t=sin x obtemos a antiderivada
$$
2,e^t(t-1)+C = 2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C.
$$

Resposta

2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C

Exercícios relacionados