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integral x^2+5(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida de uma função racional x^2+5(x-3)(x-2)^2. Para isso vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais: escrevemos
x^2+5(x-3)(x-2)^2 = Ax-3 + Bx-2 + C(x-2)^2,
é o que nos permite integrar termo a termo.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x-2)^2 obtemos a identidade
x^2 + 5 = A(x-2)^2 + B(x-3)(x-2) + C(x-3)
Expandindo cada parcela e agrupando em potências de x chegamos a
(A+B)x^2 + (-4A -5B + C)x + (4A +6B -3C) = x^2 + 0,x + 5

Passo 3

Comparando coeficientes de x^2, x e termo constante, formamos o sistema
A + B = 1, -4A -5B + C = 0, 4A +6B -3C = 5
Dessa forma obtemos de A+B=1 que B=1-A, substituímos na segunda para achar C=5-A e depois na terceira que leva a A=14. Logo B=-13 e C=-9.

Passo 4

Com esses valores a fração fica
x^2+5(x-3)(x-2)^2 = 14x-3 - 13x-2 - 9(x-2)^2
Agora basta integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando termo a termo temos
integral 14x-3,dx = 14ln|x-3|,
integral -13x-2,dx = -13ln|x-2|,
integral -9(x-2)^-2,dx = 9(x-2)^-1 = 9x-2

Resposta

14ln|x-3| -13ln|x-2| + 9x-2 + C

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