Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.
Passo 1
O enunciado pede para converter a integral dupla\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
(\displaystyle
(\displaystyle
\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1 - x{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} (x{2}+y{2}),dy,dx
) para coordenadas polares e depois calculá-la. O conteúdo principal é integração em coordenadas polares, usando a relação entre
e
e o jacobiano.
Passo 2
A região de integração em
é o disco de raio 1 centrado na origem, definido por
. Em coordenadas polares isso vira
e
.
Passo 3
Na mudança, usamos
,
. O integrando
vira
, e o elemento de área
vira
. Logo a integral passa a ter integrando
.
Passo 4
Montamos a integral em polares:
Passo 5
Calculamos em duas etapas:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} r^{3},dr = \Bigl[\tfrac{r{4}}{4}\Bigr]_{0}{1} = \tfrac{1}{4} $
$ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. $
Multiplicando, obtemos .
$ \displaystyle \int_{0}^{1} r^{3},dr = \Bigl[\tfrac{r{4}}{4}\Bigr]_{0}{1} = \tfrac{1}{4} $
$ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. $
Multiplicando, obtemos