Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para converter a integral dupla\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
(\displaystyle
\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1 - x{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} (x{2}+y{2}),dy,dx
) para coordenadas polares e depois calculá-la. O conteúdo principal é integração em coordenadas polares, usando a relação entre x,y e r,theta e o jacobiano.

Passo 2

A região de integração em xy é o disco de raio 1 centrado na origem, definido por x^2+y^2<=1. Em coordenadas polares isso vira 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Na mudança, usamos x=rcostheta, y=rsintheta. O integrando x^2+y^2 vira r^2, e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Logo a integral passa a ter integrando r^2cdot r = r^3.

Passo 4

Montamos a integral em polares:
integral0^2pi!integral0^1 r^3,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos em duas etapas:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} r^{3},dr = \Bigl[\tfrac{r{4}}{4}\Bigr]_{0}{1} = \tfrac{1}{4} $
$ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. $
Multiplicando, obtemos integral0^1 r^3,dr = l[tfracr^44r]0^1 = tfrac14 .

Resposta

tfracpi2

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