Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de
em relação a
. Isso pertence ao tópico de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais que envolvem funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes. Vamos destrinchar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples quando derivada.
Passo 3
No nosso caso, vamos definir:
Agora, vamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Olha só, agora temos outra integral:
. Para resolver isso, vamos aplicar integração por partes novamente, mas desta vez com:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes de novo:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos voltar à nossa expressão anterior:
Substituindo a expressão que encontramos para
:
Distribuindo o -3:
Passo 8
Observamos que temos a mesma integral
dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.