Avalie a integral.
integral e^3 x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Isso pertence ao tópico de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais que envolvem funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes. Vamos destrinchar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos definir:
u = e^3x e dv = cos(x) , dx
Agora, vamos encontrar du = ddx e^3x , dx = 3e^3x , dx e v = integral cos(x) , dx = sin(x) :
Derivando :
Integrando para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^3x cos(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^3x sin(x) - integral sin(x) cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
= e^3x sin(x) - 3 integral e^3x sin(x) , dx

Passo 5

Olha só, agora temos outra integral: u = e^3x e dv = sin(x) , dx . Para resolver isso, vamos aplicar integração por partes novamente, mas desta vez com:
du = 3e^3x , dx e v = -cos(x)
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes de novo:
integral e^3x sin(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^3x (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
= -e^3x cos(x) + 3 integral e^3x cos(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos voltar à nossa expressão anterior:
integral e^3x cos(x) , dx = e^3x sin(x) - 3 integral e^3x sin(x) , dx
Substituindo a expressão que encontramos para = e^3x sin(x) - 3 ( -e^3x cos(x) + 3 integral e^3x cos(x) , dx ) :
= e^3x sin(x) + 3e^3x cos(x) - 9 integral e^3x cos(x) , dx
Distribuindo o -3:

Passo 8

Observamos que temos a mesma integral I = e^3x sin(x) + 3e^3x cos(x) - 9I dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de I + 9I = e^3x sin(x) + 3e^3x cos(x) :
10I = e^3x (sin(x) + 3cos(x))
Agora, vamos resolver para I = e^3x10 (sin(x) + 3cos(x)) + C :

Resposta

A integral de integral e^3x cos(x) , dx = e^3x10 ( 3 cos(x) + sin(x) ) + C é:
Onde é a constante de integração.

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