Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n n!n^3(x+2)^n Respn=1^infty sumn=1^infty ln ne^n(x-e)^n

Passo 1

Temos duas séries de potências e queremos achar o intervalo de convergência de cada uma usando o teste da razão.

Passo 2

Para a série sumn=1^infty(-1)^nn!n^3(x+2)^n, definimos an=(-1)^nn!n^3 e aplicamos o teste da razão:
L=limntoinfty|an+1(x+2)^n+1an(x+2)^n|=limntoinfty(n+1)!(n+1)^3cdotn^3n!,|x+2|=limntoinftyn^3(n+1)^2,|x+2|=infty,|x+2|

Passo 3

Para convergir, precisamos de L<1. Aqui só é possível se |x+2|=0, ou seja, só converge em x=-2.

Passo 4

Para a série sumn=1^inftyln ne^n(x-e)^n, definimos bn=ln ne^n e aplicamos o teste da razão:
L=limntoinfty|bn+1(x-e)^n+1bn(x-e)^n|=limntoinftyln(n+1)ln ncdot1e,|x-e|=|x-e|e

Passo 5

Converge se |x-e|e<1, ou seja |x-e|. Assim o raio é R=e e o intervalo central é (e-e,,e+e)=(0,2e).
Testando os extremos:
  • x=0: o termo geral fica (-1)^nln n, que não tende a zero, logo diverge.
  • x=2e: o termo geral é ln n, que também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

Para sum(-1)^nn!n^3(x+2)^n: converge somente em x=-2. Para sumln ne^n(x-e)^n: intervalo de convergência (0,2e), sem incluir os extremos.

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