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integral x^2-5(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralx^2-5(x-3)(x-2)^2,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional, e para resolver vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos postar a forma geral da decomposição:
x^2-5(x-3)(x-2)^2=Ax-3+Bx-2+C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x-2)^2, obtemos a identidade de polinômios:
$$
A(x-2){2}+B(x-3)(x-2)+C(x-3)=x{2}-5. A(x-2)^2+B(x-3)(x-2)+C(x-3)=x^2-5ê
A(x{2}-4x+4)+B(x{2}-5x+6)+Cx-3C=x^{2}-5. x\begin{cases}
A+B=1,\
-4A-5B+C=0,\
4A+6B-3C=-5.
\end{cases} A(x^2-4x+4)+B(x^2-5x+6)+Cx-3C=x^2-5\int\Bigl(\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}+\frac{1}{(x-2)^{2}}\Bigr)dx$$
Integrando termo a termo e lembrando que x^2, obtemos
x

Resposta

4ln|x-3|-3ln|x-2|-1x-2+C

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