Calcule apenas duas das integrais abaixo.
integral x^2 raiz1-x d x;
Sugestões: (i) u=1-x du=-dx e x^2=(1-u)^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral:
integral x^2 raiz1 - x , dx
Esse problema envolve integração por substituição, um método que facilita o cálculo de integrais complicadas. Para resolver essa integral, vamos usar a sugestão dada:
u = 1 - x e du = -dx
Além disso, observamos que x^2 = (1 - u)^2 pode ser reescrito em termos de :

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição indicada. Definimos:
u = 1 - x Rightarrow du = -dx Rightarrow dx = -du
Agora substituímos x^2 = (1 - u)^2 e raiz1 - x = raizu por integral x^2 raiz1 - x , dx = integral (1 - u)^2 raizu , (-du) = -integral (1 - u)^2 u^1/2 , du :
Substituindo tudo na integral original:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, expandimos (1 - u)^2 = 1 - 2u + u^2 :
-integral (1 - 2u + u^2) u^1/2 , du = -integral ( u^1/2 - 2u^3/2 + u^5/2 ) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
-( u^3/23/2 - 2 cdot u^5/25/2 + u^7/27/2 ) + C
Simplificando os coeficientes:
-( 23 u^3/2 - 45 u^5/2 + 27 u^7/2 ) + C
Distribuindo o sinal negativo:
- 23 u^3/2 + 45 u^5/2 - 27 u^7/2 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos - 23 (1 - x)^3/2 + 45 (1 - x)^5/2 - 27 (1 - x)^7/2 + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral calculada é:
integral x^2 raiz1 - x , dx = - 23 (1 - x)^3/2 + 45 (1 - x)^5/2 - 27 (1 - x)^7/2 + C

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