Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
y=2 x-tg x, -pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva de y=2x-tan x no intervalo (-pi/2,,pi/2). O conteúdo é “estudo de curva”: precisamos determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade e identificar pontos notáveis.

Passo 2

Domínio e intercepto em y: como tan x é indefinido em x=pmpi/2, o domínio é (-pi/2,,pi/2). Em x=0, temos y(0)=2cdot0-tan0=0, então o gráfico passa pela origem.

Passo 3

Simetria: calculando y(-x)=2(-x)-tan(-x)=-2x+tan x, que não é nem y(x) nem -y(x). Logo não há simetria par nem ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais: avaliando limxto(pmpi/2)^mp(2x-tan x), como tan xtopminfty, segue que ytompinfty. Assim, há assíntotas verticais em x=pmpi/2.

Passo 5

Derivada primeira e monotonicidade:
f'(x)=2-sec^2x.
Para f'(x)=0 requer sec^2x=2 cos^2x=1/2 x=pmpi/4.
Analisando o sinal de f'(x):
  • Em (-pi/2,-pi/4): sec^2x>2 f'(x)<0 (decrescente).
  • Em (-pi/4,pi/4): sec^2x<2 f'(x)>0 (crescente).
  • Em (pi/4,pi/2): sec^2x>2 f'(x)<0 (decrescente).
    Logo, há mínimo local em x=-pi/4 com y(-pi/4)=2(-pi/4)-(-1)=1-pi/2 e máximo local em x=pi/4 com y(pi/4)=pi/2-1.

Passo 6

Derivada segunda e concavidade:
f''(x)=-(sec^2x)'= -2tan xsec^2x.
Zero em tan x=0 x=0. Para x<0, tan x<0 f''(x)>0 (côncavo para cima). Para x>0, tan x>0 f''(x)<0 (côncavo para baixo). Há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 7

Juntando tudo, o esboço qualitativo é:
  • Em xto-pi/2^+, yto+infty e a curva decresce até o mínimo em (-pi/4,1-pi/2).
  • Depois sobe, passando pelo ponto de inflexão em (0,0), até o máximo em (pi/4,pi/2-1).
  • Finalmente decresce novamente e em xtopi/2^- vai para -infty.
  • A curva é côncava para cima em (-pi/2,0) e côncava para baixo em (0,pi/2).

Resposta

O gráfico de y=2x-tan x em (-pi/2,,pi/2) tem assíntotas verticais em x=pmpi/2, intercepta a origem, decresce de +infty (em xto-pi/2^+) até um mínimo local em (-pi/4,,1-pi/2), sobe passando por inflexão em (0,0) até um máximo local em (pi/4,,pi/2-1) e em seguida decresce para -infty (em xtopi/2^-). A curva é côncava para cima em (-pi/2,0) e para baixo em (0,pi/2).

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