Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva de
no intervalo
. O conteúdo é “estudo de curva”: precisamos determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade e identificar pontos notáveis.
Passo 2
Domínio e intercepto em
: como
é indefinido em
, o domínio é
. Em
, temos
, então o gráfico passa pela origem.
Passo 3
Simetria: calculando
, que não é nem
nem
. Logo não há simetria par nem ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais: avaliando
, como
, segue que
. Assim, há assíntotas verticais em
.
Passo 5
Derivada primeira e monotonicidade:
.
Para requer
→
→
.
Analisando o sinal de :
Para
Analisando o sinal de
- Em
: → (decrescente). - Em
: → (crescente). - Em
: → (decrescente).
Logo, há mínimo local emcom e máximo local em com .
Passo 6
Derivada segunda e concavidade:
.
Zero em →
. Para
,
→
(côncavo para cima). Para
,
→
(côncavo para baixo). Há ponto de inflexão em
.
Zero em
Passo 7
Juntando tudo, o esboço qualitativo é:
- Em
, e a curva decresce até o mínimo em . - Depois sobe, passando pelo ponto de inflexão em
, até o máximo em . - Finalmente decresce novamente e em
vai para . - A curva é côncava para cima em
e côncava para baixo em .
Resposta
O gráfico de
em
tem assíntotas verticais em
, intercepta a origem, decresce de
(em
) até um mínimo local em
, sobe passando por inflexão em
até um máximo local em
e em seguida decresce para
(em
). A curva é côncava para cima em
e para baixo em
.