Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t).
(a) y^prime prime+4 y=0,
(b) y^prime prime-6 y^prime+9 y=0,
y(0)=0, y^prime(0)=1
© y^prime prime+4 y^prime+3 y=0,
y(0)=0, y^prime(0)=2
(d) 4 y^prime prime+12 y^prime+9 y=0,
y(0)=2, y^prime(0)=-1
(e) y^prime prime-2 y^prime+5 y=0,
y(0)=1, y^prime(0)=-4
(f) y^prime prime+4 y^prime+5 y=0,
y(pi / 2)=0, y^prime(pi / 2)=2
(g) y^prime prime+8 y^prime-9 y=0,
y(0)=1, y^prime(0)=0
(g) y^prime prime+8 y^prime-9 y=0,
y(1)=1, y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver diversos problemas de valor inicial de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, traçar (ou imaginar) o esboço de cada solução e calcular os limites tto -infty e tto +infty de y(t). Vamos usar as etapas: formular a equação característica, encontrar raízes, montar a solução geral, aplicar as condições iniciais e, por fim, analisar os limites.

Passo 2

Para (a) y''+4y=0 montamos a característica r^2+4=0, com raízes r=pm2i. A solução geral é y=C1cos(2t)+C2sin(2t). Não há condições iniciais, então fica em forma geral. Como é oscilatória de amplitude constante, não existem limites quando ttopminfty.

Passo 3

Para (b) y''-6y'+9y=0,;y(0)=0,;y'(0)=1. A característica é (r-3)^2=0, raiz dupla r=3. Então y=(A+Bt)e^3t. Derivando e impondo y(0)=A=0, y'(0)=B=1, obtemos y=t e^3t. Limites: t e^3tto0 quando tto-infty e to+infty quando tto+infty.

Passo 4

Para © y''+4y'+3y=0,;y(0)=0,;y'(0)=2. Característica (r+1)(r+3)=0, raízes r=-1,-3. Solução y=A e^-t+B e^-3t. Impor IC: A+B=0, -A-3B=2 leva a A=1,;B=-1. Logo y=e^-t-e^-3t. Limites: quando tto+infty, yto0; quando tto-infty, domina -e^-3tto-infty.

Passo 5

Para (d) 4y''+12y'+9y=0,;y(0)=2,;y'(0)=-1. Divide por 4: r^2+3r+9/4=0 com raiz dupla r=-3/2. Solução y=(A+Bt)e^-3t/2. Impondo IC: A=2, B=2. Assim y=(2+2t)e^-3t/2. Limites: yto0 quando tto+infty e yto-infty quando tto-infty.

Passo 6

Para (e) y''-2y'+5y=0,;y(0)=1,;y'(0)=-4. Característica r=1pm2i. Solução y=e^t(Acos2t+Bsin2t). Impondo IC: A=1,;B=-5/2. Fica y=e^t(cos2t-tfrac52sin2t). Limites: cresce exponencialmente oscilando para +infty quando tto+infty (sem limite) e to0 quando tto-infty.

Passo 7

Para (f) y''+4y'+5y=0,;y(pi/2)=0,;y'(pi/2)=2. Característica r=-2pm i. Solução y=e^-2t(Ccos t+Dsin t). Das condições em t=pi/2 vem D=0 e C=-2e^pi. Logo y=-2e^pie^-2tcos t. Limites: to0 quando tto+infty e não existe (oscila e cresce) quando tto-infty.

Passo 8

Para (g1) y''+8y'-9y=0,;y(0)=1,;y'(0)=0. Característica r=1,-9. Solução y=C1e^t+C2e^-9t. Impor IC: C1=9/10,;C2=1/10. Fica y=tfrac910e^t+tfrac110e^-9t. Limites: yto+infty em ambas as direções (positivo infinito).

Passo 9

Para (g2) mesma equação mas y(1)=1,;y'(1)=0. Mantém y=C1e^t+C2e^-9t. Condições em t=1 levam a C1=tfrac910e,;C2=tfrace^910. Então y=tfrac910ee^t+tfrace^910e^-9t. Limites: yto+infty quando tto+infty e também +infty quando tto-infty.

Resposta

(a) y=C₁ cos(2t)+C₂ sin(2t); limites não existem (solução oscilatória de amplitude constante).
(b) y=t e^{3t}; lim⁡_{t→-∞}y=0, lim⁡_{t→+∞}y=+∞.
© y=e{-t}-e{-3t}; lim⁡_{t→+∞}=0, lim⁡_{t→-∞}=-∞.
(d) y=(2+2t)e^{-3t/2}; lim⁡_{t→+∞}=0, lim⁡_{t→-∞}=-∞.
(e) y=e^t( cos 2t - (5/2)sin 2t ); lim⁡_{t→+∞} não existe (cresce oscilando), lim⁡_{t→-∞}=0.
(f) y=-2 e^{π} e^{-2t} cos t; lim⁡_{t→+∞}=0, lim⁡_{t→-∞} não existe (oscilação com crescimento).
(g1) y=\tfrac{9}{10}e{t}+\tfrac{1}{10}e{-9t}; lim⁡_{t→±∞}=+∞.
(g2) y=\tfrac{9}{10e}e{t}+\tfrac{e{9}}{10}e^{-9t}; lim⁡_{t→±∞}=+∞.

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