Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
.
(a)
,
(b)
,
©
,
(d)
,
(e)
,
(f)
,
(g)
,
(g)
,
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para resolver diversos problemas de valor inicial de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, traçar (ou imaginar) o esboço de cada solução e calcular os limites
e
de
. Vamos usar as etapas: formular a equação característica, encontrar raízes, montar a solução geral, aplicar as condições iniciais e, por fim, analisar os limites.
Passo 2
Para (a)
montamos a característica
, com raízes
. A solução geral é
. Não há condições iniciais, então fica em forma geral. Como é oscilatória de amplitude constante, não existem limites quando
.
Passo 3
Para (b)
. A característica é
, raiz dupla
. Então
. Derivando e impondo
,
, obtemos
. Limites:
quando
e
quando
.
Passo 4
Para ©
. Característica
, raízes
. Solução
. Impor IC:
,
leva a
. Logo
. Limites: quando
,
; quando
, domina
.
Passo 5
Para (d)
. Divide por 4:
com raiz dupla
. Solução
. Impondo IC:
,
. Assim
. Limites:
quando
e
quando
.
Passo 6
Para (e)
. Característica
. Solução
. Impondo IC:
. Fica
. Limites: cresce exponencialmente oscilando para
quando
(sem limite) e
quando
.
Passo 7
Para (f)
. Característica
. Solução
. Das condições em
vem
e
. Logo
. Limites:
quando
e não existe (oscila e cresce) quando
.
Passo 8
Para (g1)
. Característica
. Solução
. Impor IC:
. Fica
. Limites:
em ambas as direções (positivo infinito).
Passo 9
Para (g2) mesma equação mas
. Mantém
. Condições em
levam a
. Então
. Limites:
quando
e também
quando
.
Resposta
(a) y=C₁ cos(2t)+C₂ sin(2t); limites não existem (solução oscilatória de amplitude constante).
(b) y=t e^{3t}; lim_{t→-∞}y=0, lim_{t→+∞}y=+∞.
© y=e{-t}-e{-3t}; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞}=-∞.
(d) y=(2+2t)e^{-3t/2}; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞}=-∞.
(e) y=e^t( cos 2t - (5/2)sin 2t ); lim_{t→+∞} não existe (cresce oscilando), lim_{t→-∞}=0.
(f) y=-2 e^{π} e^{-2t} cos t; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞} não existe (oscilação com crescimento).
(g1) y=\tfrac{9}{10}e{t}+\tfrac{1}{10}e{-9t}; lim_{t→±∞}=+∞.
(g2) y=\tfrac{9}{10e}e{t}+\tfrac{e{9}}{10}e^{-9t}; lim_{t→±∞}=+∞.
(b) y=t e^{3t}; lim_{t→-∞}y=0, lim_{t→+∞}y=+∞.
© y=e{-t}-e{-3t}; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞}=-∞.
(d) y=(2+2t)e^{-3t/2}; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞}=-∞.
(e) y=e^t( cos 2t - (5/2)sin 2t ); lim_{t→+∞} não existe (cresce oscilando), lim_{t→-∞}=0.
(f) y=-2 e^{π} e^{-2t} cos t; lim_{t→+∞}=0, lim_{t→-∞} não existe (oscilação com crescimento).
(g1) y=\tfrac{9}{10}e{t}+\tfrac{1}{10}e{-9t}; lim_{t→±∞}=+∞.
(g2) y=\tfrac{9}{10e}e{t}+\tfrac{e{9}}{10}e^{-9t}; lim_{t→±∞}=+∞.