Avalie:
integral0^3 integral0^2 integral0^1 x cdot y^2 cdot z^3 d z d x d y,

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral0^3 integral0^2 integral0^1 x cdot y^2 cdot z^3 , dz , dx , dy. Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que avaliam funções sobre uma região tridimensional. Para resolver, vamos integrar na ordem: z, depois x, e finalmente y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A função a ser integrada é x cdot y^2 cdot z^3. Tratando x e y como constantes, a integral de z^3 em relação a z é z^44.

Passo 3

Vamos aplicar os limites de integração para z:
integral0^1 x cdot y^2 cdot z^3 , dz = x cdot y^2 [ z^44 ]0^1 = x cdot y^2 ( 1^44 - 0^44 ) = x cdot y^24

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 x cdot y^24 , dx = y^24 integral0^2 x , dx = y^24 [ x^22 ]0^2 = y^24 ( 42 - 0 ) = y^24 cdot 2 = y^22

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a y, de 0 a 3:
integral0^3 y^22 , dy = 12 integral0^3 y^2 , dy = 12 [ y^33 ]0^3 = 12 ( 273 - 0 ) = 12 cdot 9 = 92

Resposta

A integral avalia para 92.

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