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integral duplaR x y cdot d x d y, onde R é a região delimitada por y=12 x, y=raizx, x=2 e x=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x y , dx , dy, onde a região R é delimitada pelas curvas y = 12x, y = raizx, e pelas linhas verticais x = 2 e x = 4. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo de integrais duplas, e para resolver, a gente vai precisar entender como definir os limites de integração e integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R. Temos as curvas y = 12x e y = raizx entre x = 2 e x = 4. Vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para ter certeza dos limites. Igualando 12x = raizx, resolvemos e encontramos que elas se intersectam em x = 0 e x = 4. Como estamos trabalhando entre x = 2 e x = 4, sabemos que, para esse intervalo, y = raizx está acima de y = 12x.

Passo 3

Agora que entendemos a região, podemos configurar nossa integral dupla. Como x varia de 2 a 4, e para cada x dentro desse intervalo, y varia de 12x até raizx, nossa integral fica:
integralx=2^4 integraly=12x^raizx x y , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral12x^raizx x y , dy
Como x é constante em relação a y, podemos puxar x para fora da integral:
x integral12x^raizx y , dy
Integrando y em relação a y, temos:
x [ y^22 ]12x^raizx = x ( (raizx)^22 - (12x)^22 )
Simplificando:
x ( x2 - x^28 ) = x^22 - x^38

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a x de 2 a 4:
integral2^4 ( x^22 - x^38 ) dx
Integrando termo a termo:
[ x^36 - x^432 ]2^4
Calculando nos limites:
Para x = 4:
4^36 - 4^432 = 646 - 25632 = 323 - 8 = 323 - 243 = 83
Para x = 2:
2^36 - 2^432 = 86 - 1632 = 43 - 12 = 86 - 36 = 56
Subtraindo:
83 - 56 = 166 - 56 = 116

Resposta

A integral dupla integral duplaR x y , dx , dy é igual a 116.

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