Avalie:
, onde
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
,
, e pelas linhas verticais
e
. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo de integrais duplas, e para resolver, a gente vai precisar entender como definir os limites de integração e integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos as curvas
e
entre
e
. Vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para ter certeza dos limites. Igualando
, resolvemos e encontramos que elas se intersectam em
e
. Como estamos trabalhando entre
e
, sabemos que, para esse intervalo,
está acima de
.
Passo 3
Agora que entendemos a região, podemos configurar nossa integral dupla. Como
varia de 2 a 4, e para cada
dentro desse intervalo,
varia de
até
, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos puxar
para fora da integral:
Integrando
em relação a
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
de 2 a 4:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.