integral 1raiz4-3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos:
integral 1raiz4 - 3x^2 , dx
Isso envolve o cálculo de uma integral que está relacionada a funções trigonométricas, especificamente a função arco seno. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões dentro da raiz quadrada do tipo a^2 - b x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de a e b na nossa expressão 4 - 3x^2:
4 - 3x^2 = (2)^2 - (raiz3x)^2
Aqui, a = 2 e b = raiz3. Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir:
x = 2raiz3 sin theta
Essa substituição ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em uma forma que envolve cos theta, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx em termos de theta:
x = 2raiz3 sin theta dx = 2raiz3 cos theta , dtheta
Substituímos x e dx na integral original:
integral 1raiz4 - 3x^2 , dx = integral 1raiz4 - 3 ( 43 sin^2 theta ) cdot 2raiz3 cos theta , dtheta

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
4 - 3x^2 = 4 - 3 ( 43 sin^2 theta ) = 4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral 1raiz4 cos^2 theta cdot 2raiz3 cos theta , dtheta
Simplificamos a raiz:
raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta
Então, a integral agora é:
integral 12 cos theta cdot 2raiz3 cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos os termos:
12 cos theta cdot 2raiz3 cos theta = 1raiz3
Então, a integral fica:
integral 1raiz3 , dtheta = 1raiz3 theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição:
x = 2raiz3 sin theta Rightarrow sin theta = raiz32 x
Então,
theta = arcsin( raiz32 x )
Substituindo de volta na expressão da integral:
1raiz3 theta + C = 1raiz3 arcsin( raiz32 x ) + C

Resposta

A integral é igual a
1raiz3 arcsin( raiz32 x ) + C

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