Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos:
Isso envolve o cálculo de uma integral que está relacionada a funções trigonométricas, especificamente a função arco seno. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões dentro da raiz quadrada do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
na nossa expressão
:
Aqui,
e
. Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em uma forma que envolve
, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em termos de
:
Substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificamos a raiz:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Então, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição:
Então,
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral é igual a