Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.
Passo 1
O enunciado pede claramente o valor do seguinte limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas e o que se quer:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Precisamos decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, calcular o valor.
Passo 2
Intuição e comparação de crescimento (uma “aula rápida” antes de calcular): funções crescem em ritmos diferentes. Em particular, quando
:
-
cresce muito mais devagar que potências de (por exemplo , , etc.). - Termos lineares como
crescem mais devagar que , mas mais rápido que .
Portanto, olhando “à vista”, o numeradortem ordem parecida com (predominado por ), enquanto o denominador tem ordem . Logo espera-se que a razão seja da ordem de , que tende a . Vamos transformar isso rigorosamente.
Passo 3
Técnica: dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador) para evidenciar os termos que vão a zero.
Agora, se mostrarmos que
e
, e o denominador
, o limite segue.
Passo 4
Mostrando que
. Uma ferramenta simples e rigorosa é a regra de L’Hôpital, aplicada a
As condições de L’Hôpital valem porque tanto
quanto
, então a forma é
. Derivando numerador e denominador:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Aplicando L’Hôpital:
E
quando
. Portanto
Passo 5
Outros termos:
Passo 6
Agora retomamos a expressão do Passo 3 e passamos ao limite usando os resultados anteriores:
Portanto o limite existe e vale
.