Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)+2 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede claramente o valor do seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)+2x}{x^{2}+1}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A expressão é \dfrac{\ln(x)+2x}{x^{2}+1}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
  • Precisamos decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, calcular o valor.

Passo 2

Intuição e comparação de crescimento (uma “aula rápida” antes de calcular): funções crescem em ritmos diferentes. Em particular, quando x\to\infty:
  • \ln(x) cresce muito mais devagar que potências de x (por exemplo x, x^{2}, etc.).
  • Termos lineares como 2x crescem mais devagar que x^{2}, mas mais rápido que \ln(x).
    Portanto, olhando “à vista”, o numerador \ln(x)+2x tem ordem parecida com x (predominado por 2x), enquanto o denominador x^{2}+1 tem ordem x^{2}. Logo espera-se que a razão seja da ordem de x/x^{2}=1/x, que tende a 0. Vamos transformar isso rigorosamente.

Passo 3

Técnica: dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente no denominador) para evidenciar os termos que vão a zero.
\frac{\ln(x)+2x}{x^{2}+1} = \frac{\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}+\dfrac{2x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}+\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora, se mostrarmos que \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{2}{x}\to 0, e o denominador 1+\dfrac{1}{x^{2}}\to 1, o limite segue.

Passo 4

Mostrando que \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\to 0. Uma ferramenta simples e rigorosa é a regra de L’Hôpital, aplicada a
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}.
As condições de L’Hôpital valem porque tanto \ln(x)\to\infty quanto x^{2}\to\infty, então a forma é \infty/\infty. Derivando numerador e denominador:
  • derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x},
  • derivada de x^{2} é 2x.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}.
E \dfrac{1}{2x^{2}}\to 0 quando x\to\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=0.

Passo 5

Outros termos:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=1.

Passo 6

Agora retomamos a expressão do Passo 3 e passamos ao limite usando os resultados anteriores:
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}+\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{0+0}{1}=0.
Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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