Se
, mostre que
, para todo número real
.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é um número real arbitrário. A tarefa pedida é "mostrar que
" (isto é, comparar a segunda derivada parcial de
em
com quatro vezes a derivada parcial em
).
Informações dadas:
-
é uma função de duas variáveis e . -
é tratado como constante em relação a e . - O enunciado pede uma identidade entre derivadas parciais:
e .
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo. Primeiro, uma lembrança rápida da regra da cadeia e produto para derivadas parciais:
- Se
então . - Se uma função é produto de duas que dependem de variáveis diferentes (aqui
depende só de e só de ), ao derivar em tratamos a parte que depende só de como constante.
Agora calculemos:
Derivando em relação a
:
A derivada de
em
é
(pela regra da cadeia, pois a derivada de
é
). Então
Passo 3
Agora vamos calcular
e em seguida
. Lembrete da regra da cadeia: a derivada de
em
é
porque
com
e
.
Primeiro:
Agora derivamos
em relação a
novamente. A parte
é constante em relação a
, então:
A derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Comparemos os resultados obtidos:
Logo, em geral
Multiplicando
por
dá
Para que
valha para todos
é necessário que
isto é,
Isso só ocorre identicamente (para todos
) no caso trivial
(já que
sempre e
não é identicamente zero para
). Se
então
e tanto
quanto
são zero, então a igualdade vale só nesse caso.
Passo 5
Conclusão interpretativa (estudando o que aconteceu): a derivação mostra diretamente, usando regras básicas de derivação (cadeia e produto), que a relação correta entre as derivadas é
. A afirmação do enunciado
não é verdadeira para todo real
; é verdadeira apenas no caso trivial
(quando
é a função zero). Provavelmente houve um equívoco no enunciado (por exemplo, se a função fosse
então apareceria um fator
no
-derivado), mas com a função dada a identidade correta é
.