Se w=e^{-c^{2} t} \sin (c x), mostre que w_{x x}=4 w_{t}, para todo número real c.

Passo 1

O enunciado dá a função
w(x,t)=e^{-c^{2} t}\sin(c x),
onde c é um número real arbitrário. A tarefa pedida é "mostrar que w_{x x}=4 w_{t}" (isto é, comparar a segunda derivada parcial de w em x com quatro vezes a derivada parcial em t).
Informações dadas:
  • w é uma função de duas variáveis x e t.
  • c é tratado como constante em relação a x e t.
  • O enunciado pede uma identidade entre derivadas parciais: w_{xx} e 4w_t.

Passo 2

Vamos calcular w_{t} passo a passo. Primeiro, uma lembrança rápida da regra da cadeia e produto para derivadas parciais:
  • Se f(t)=e^{g(t)} então f'(t)=g'(t)e^{g(t)}.
  • Se uma função é produto de duas que dependem de variáveis diferentes (aqui e^{-c^{2}t} depende só de t e \sin(c x) só de x), ao derivar em t tratamos a parte que depende só de x como constante.
Agora calculemos:
w(x,t)=e^{-c^{2} t}\sin(c x).
Derivando em relação a t:
w_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-c^{2} t}\bigr)\cdot \sin(c x).
A derivada de e^{-c^{2} t} em t é -c^{2}e^{-c^{2} t} (pela regra da cadeia, pois a derivada de -c^{2} t é -c^{2}). Então
w_{t}=-c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x).

Passo 3

Agora vamos calcular w_{x} e em seguida w_{xx}. Lembrete da regra da cadeia: a derivada de \sin(c x) em x é c\cos(c x) porque \frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u' com u=cx e u'=c.
Primeiro:
w_{x} = e^{-c^{2} t}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\sin(c x)\bigr) = e^{-c^{2} t}\cdot c\cos(c x).
Agora derivamos w_x em relação a x novamente. A parte e^{-c^{2} t} é constante em relação a x, então:
w_{xx} = e^{-c^{2} t}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(c\cos(c x)\bigr).
A derivada de c\cos(c x) é c\cdot(-c)\sin(c x)=-c^{2}\sin(c x). Portanto
w_{xx} = e^{-c^{2} t}\cdot (-c^{2}\sin(c x)) = -c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x).

Passo 4

Comparemos os resultados obtidos:
w_{t} = -c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x), \qquad w_{xx} = -c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x).
Logo, em geral
w_{xx}=w_{t}.
Multiplicando w_{t} por 4
4w_{t} = -4c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x).
Para que w_{xx}=4w_{t} valha para todos x,t é necessário que
- c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x) = -4c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x),
isto é,
(1-4)\,c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x)=0.
Isso só ocorre identicamente (para todos x,t) no caso trivial c=0 (já que e^{-c^{2} t}>0 sempre e \sin(c x) não é identicamente zero para c\neq 0). Se c=0 então w\equiv 0 e tanto w_{xx} quanto 4w_t são zero, então a igualdade vale só nesse caso.

Passo 5

Conclusão interpretativa (estudando o que aconteceu): a derivação mostra diretamente, usando regras básicas de derivação (cadeia e produto), que a relação correta entre as derivadas é \,w_{xx}=w_{t}. A afirmação do enunciado \,w_{xx}=4w_{t} não é verdadeira para todo real c; é verdadeira apenas no caso trivial c=0 (quando w é a função zero). Provavelmente houve um equívoco no enunciado (por exemplo, se a função fosse w=e^{-c^{2} t}\sin(2c x) então apareceria um fator 4 no x-derivado), mas com a função dada a identidade correta é \,w_{xx}=w_{t}.

Resposta

\,w_{xx}=-c^{2}e^{-c^{2} t}\sin(c x)=w_{t}. Portanto \,w_{xx}=4w_{t} não vale em geral; vale apenas no caso trivial c=0.

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