Calcule as derivadas das seguintes funções:
h(x)=\cos \left(\sqrt{x}-9 x^{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\cos\!\bigl(\sqrt{x}-9x^{7}\bigr).
Informações dadas e observações úteis (retiradas do enunciado):
  • A função é uma composição: há a função cosseno aplicada a uma expressão interna \sqrt{x}-9x^{7}.
  • Pode-se reescrever \sqrt{x} como x^{1/2}.
  • A derivada que vamos obter estará definida para x>0 (pois aparece \sqrt{x} no denominador ao derivar).

Passo 2

Vamos organizar a notação para ficar mais claro. Defino a função interna
u(x)=\sqrt{x}-9x^{7}=x^{1/2}-9x^{7}.
Assim podemos escrever
h(x)=\cos\!\bigl(u(x)\bigr).
Isso só é uma reescrita para deixar a derivação mais limpa: u(x) é a parte dentro do cosseno.

Passo 3

Aplico a regra da cadeia para derivar uma composição. A regra da cadeia, explicada de forma direta, diz o seguinte: se h(x)=\cos\!\bigl(u(x)\bigr) então a derivada de h é o derivado do cosseno avaliado em u(x) multiplicado pela derivada de u(x). Em fórmula:
\frac{d}{dx}\cos\!\bigl(u(x)\bigr) = -\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • \sin e \cos são as funções trigonométricas;
  • o sinal negativo vem de \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t;
  • u'(x) é a derivada da função interna u(x).

Passo 4

Agora vamos calcular u'(x). Lembrete das regras que usaremos:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para qualquer real n.
  • Derivada de constante vezes função: \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
Aplicando ao nosso u(x)=x^{1/2}-9x^{7}:
  • Para x^{1/2}, pela regra do poder com n=\tfrac{1}{2},
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para 9x^{7}, a constante 9 sai e usa-se a regra do poder com n=7:
\frac{d}{dx}9x^{7}=9\cdot 7 x^{6}=63x^{6}.
Portanto,
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-63x^{6}.

Passo 5

Substituo u'(x) e u(x) na fórmula da regra da cadeia dada no Passo 3. Assim:
h'(x) = -\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\!\bigl(\sqrt{x}-9x^{7}\bigr)\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-63x^{6}\right).

Passo 6

Opcional: podemos escrever u'(x) com um denominador comum para quem prefere uma única fração. Com denom. 2\sqrt{x},
\frac{1}{2\sqrt{x}}-63x^{6}=\frac{1-126x^{13/2}}{2\sqrt{x}}.
Então outra forma equivalente é
h'(x) = -\sin\!\bigl(\sqrt{x}-9x^{7}\bigr)\cdot\frac{1-126x^{13/2}}{2\sqrt{x}}.
Escolha a forma que achar mais clara na hora da prova; ambas são matematicamente iguais. Lembrete final: a derivada é válida para x>0.

Resposta

h'(x)=-\sin\!\bigl(\sqrt{x}-9x^{7}\bigr)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-63x^{6}\right)

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