Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações úteis (retiradas do enunciado):
- A função é uma composição: há a função cosseno aplicada a uma expressão interna
. - Pode-se reescrever
como . - A derivada que vamos obter estará definida para
(pois aparece no denominador ao derivar).
Passo 2
Vamos organizar a notação para ficar mais claro. Defino a função interna
Assim podemos escrever
Isso só é uma reescrita para deixar a derivação mais limpa:
é a parte dentro do cosseno.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia para derivar uma composição. A regra da cadeia, explicada de forma direta, diz o seguinte: se
então a derivada de
é o derivado do cosseno avaliado em
multiplicado pela derivada de
. Em fórmula:
Aqui:
-
e são as funções trigonométricas; - o sinal negativo vem de
; -
é a derivada da função interna .
Passo 4
Agora vamos calcular
. Lembrete das regras que usaremos:
- Regra do poder:
para qualquer real . - Derivada de constante vezes função:
.
Aplicando ao nosso
:
- Para
, pela regra do poder com ,
- Para
, a constante sai e usa-se a regra do poder com :
Portanto,
Passo 5
Substituo
e
na fórmula da regra da cadeia dada no Passo 3. Assim:
Passo 6
Opcional: podemos escrever
com um denominador comum para quem prefere uma única fração. Com denom.
,
Então outra forma equivalente é
Escolha a forma que achar mais clara na hora da prova; ambas são matematicamente iguais. Lembrete final: a derivada é válida para
.