Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de LHospital. Justifique suas respostas.
lim x 4 raizx+5-3x-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto4raizx+5-3x-4 sem usar a regra de L’Hôpital. O conteúdo é cálculo de limites e vamos precisar usar o método da conjugada para eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Ao substituir x=4 diretamente, obtemos raiz4+5-3=3-3=0 no numerador e 4-4=0 no denominador. Isso dá uma forma indeterminada 0/0, então não podemos concluir o valor do limite por substituição direta.

Passo 3

Para resolver uma indeterminação envolvendo raízes, usamos o método da conjugada: multiplicamos numerador e denominador por raizx+5+3. Isso “racionaliza” a expressão e facilita a simplificação.

Passo 4

Aplicando o método, temos:
$$
\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4};\cdot;\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}

\frac{(\sqrt{x+5})^2 - 3^2}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}

\frac{x+5 - 9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}

\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$$

Passo 5

Cancelando o fator x-4 (para xneq4), a expressão simplifica para
1raizx+5+3

Passo 6

Agora calculamos o limite substituindo x=4 na expressão simplificada. Temos raiz4+5+3=3+3=6, logo o limite vale 1/6.

Resposta

1/6

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