Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de LHospital. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sem usar a regra de L’Hôpital. O conteúdo é cálculo de limites e vamos precisar usar o método da conjugada para eliminar a forma indeterminada.
Passo 2
Ao substituir
diretamente, obtemos
no numerador e
no denominador. Isso dá uma forma indeterminada
, então não podemos concluir o valor do limite por substituição direta.
Passo 3
Para resolver uma indeterminação envolvendo raízes, usamos o método da conjugada: multiplicamos numerador e denominador por
. Isso “racionaliza” a expressão e facilita a simplificação.
Passo 4
Aplicando o método, temos:
$$
\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4};\cdot;\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}
\frac{(\sqrt{x+5})^2 - 3^2}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}
\frac{x+5 - 9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}
\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$$
Passo 5
Cancelando o fator
(para
), a expressão simplifica para
Passo 6
Agora calculamos o limite substituindo
na expressão simplificada. Temos
, logo o limite vale
.