Calcule
integral x^5 cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^5cos(3x),dx. Este é um típico problema de Integração por Partes, mas para reduzir várias vezes o polinômio de grau 5, vamos usar o método tabular, que é apenas uma forma organizada de aplicar repetidamente a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = x^5 e dv = cos(3x),dx. Assim:
du = 5x^4,dx, v = integralcos(3x),dx = 13sin(3x)

Passo 3

Agora montamos a tabela de derivadas de u e antiderivadas de dv:
Derivadas de u=x^5:
r x^5 5x^4 20x^3 60x^2 120x 120 0
Antiderivadas de dv=cos(3x),dx:
r 13sin(3x) -19cos(3x) -127sin(3x) 181cos(3x) 1243sin(3x) -1729cos(3x) (não usada) ã

Passo 4

Para cada linha (até antes de chegar a zero), multiplicamos derivada pela antiderivada correspondente, com sinais alternados começando positivo. Ficamos com:
integral x^5cos(3x),dx &= +,x^5cdot13sin(3x) & -,5x^4cdotl(-19cos(3x)r) & +,20x^3cdotl(-127sin(3x)r) & -,60x^2cdot181cos(3x) & +,120xcdot1243sin(3x) & -,120cdotl(-1729cos(3x)r) + C

Passo 5

Agora simplificamos coeficientes em cada termo:
x^53sin(3x) &+ 5x^49cos(3x) - 20x^327sin(3x) - 20x^227cos(3x) &+ 40x81sin(3x) + 40243cos(3x) + C

Passo 6

E assim chegamos à resposta final, que é a antiderivada completa de x^5cos(3x).

Resposta

integral x^5cos(3x),dx = x^53sin(3x) + 5x^49cos(3x) - 20x^327sin(3x) - 20x^227cos(3x) + 40x81sin(3x) + 40243cos(3x) + C

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