Resolva o que se pede:
Calcule a integral
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas
e
as hipérboles
usando a transformação
.
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas
e
, além das hipérboles
e
. Para isso, vamos usar uma transformação de coordenadas:
e
. Vamos precisar entender um pouco sobre mudanças de variáveis e determinantes jacobianos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que vamos usar:
e
. Isso significa que vamos trocar as variáveis
e
por
e
para simplificar a região de integração.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano ajuda a ajustar a medida de área quando mudamos de coordenadas. Vamos montar a matriz jacobiana:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o determinante jacobiano é:
Passo 4
A seguir, vamos transformar a região
para o novo sistema de coordenadas
e
. As equações que limitam
são:
Então, os limites para
vão de
a
, e para
vão de
(de
) a
(de
).
Passo 5
Vamos montar a nova integral com as variáveis transformadas e o jacobiano:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Simplificando os logaritmos:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral
é igual a
.