Resolva o que se pede:
Calcule a integral integral duplaR x y d A, onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=3 x e as hipérboles x y=1, x y=3 usando a transformação x=u / v, y=v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas y = x e y = 3x, além das hipérboles xy = 1 e xy = 3. Para isso, vamos usar uma transformação de coordenadas: x = uv e y = v. Vamos precisar entender um pouco sobre mudanças de variáveis e determinantes jacobianos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que vamos usar: x = uv e y = v. Isso significa que vamos trocar as variáveis x e y por u e v para simplificar a região de integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano ajuda a ajustar a medida de área quando mudamos de coordenadas. Vamos montar a matriz jacobiana:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 1v, partial xpartial v = -uv^2, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 1
Então, o determinante jacobiano é:
det(J) = (1v)(1) - (-uv^2)(0) = 1v

Passo 4

A seguir, vamos transformar a região R para o novo sistema de coordenadas u e v. As equações que limitam R são:
  1. y = x Rightarrow v = uv Rightarrow u = v^2
  2. y = 3x Rightarrow v = 3(uv) Rightarrow u = v^23
  3. xy = 1 Rightarrow (uv) v = u = 1
  4. xy = 3 Rightarrow u = 3
Então, os limites para u vão de 1 a 3, e para v vão de raizu (de u = v^2) a raiz3u (de u = v^23).

Passo 5

Vamos montar a nova integral com as variáveis transformadas e o jacobiano:
integral duplaR x y , dA = integralu=1^3 integralv=raizu^raiz3u (uv) v cdot 1v , dv , du
Simplificando a expressão dentro da integral:
(uv) v cdot 1v = u cdot 1v = uv

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a v:
integralv=raizu^raiz3u uv , dv = u [ ln v ]raizu^raiz3u = u ( ln(raiz3u) - ln(raizu) )
Simplificando os logaritmos:
u ( ln(raiz3u) - ln(raizu) ) = u ( 12 ln(3u) - 12 ln(u) ) = u ( 12 ln 3 ) = u2 ln 3

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a u:
integralu=1^3 u2 ln 3 , du = ln 32 integral1^3 u , du = ln 32 [ u^22 ]1^3 = ln 32 ( 92 - 12 ) = ln 32 cdot 4 = 2 ln 3

Resposta

A integral integral duplaR x y , dA é igual a 2 ln 3.

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